江苏专用2020版高考数学大一轮复习第七章立体几何4第4讲空间几何体的结构及其表面积和体积刷好题练能力文.doc

第4讲 空间几何体的结构及其表面积和体积1正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为_解析：S底64224，S侧646144，所以S全S侧2S底1444848(3)答案：48(3)2将一个边长分别为4，8的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是_解析：当以长度为4的边为底面圆时，底面圆的半径为2，两个底面的面积是8；当以长度为8的边为底面圆时，底面圆的半径为4，两个底面圆的面积为32.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积322.故所求的表面积是3228或32232.答案：3228或322323一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的棱长为a，则球的表面积为_解析：由题意知，球的半径R.所以S球4R2a2.答案：a24以下命题：以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为_解析：命题错，因这条腰必须是垂直于两底的腰命题对命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行答案：15(2019江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二)在一次模具制作大赛中，小明制作了一个母线长和底面直径相等的圆锥，而小强制作了一个球，经测量得圆锥的侧面积恰好等于球的表面积，则圆锥和球的体积的比值等于_解析：设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，则圆锥的母线长为2r，高为r.由题意可知r2r4R2，即rR.所以()3.答案：6(2019苏锡常镇四市调研)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB2，AD3，PA4，点E为棱CD上一点，则三棱锥EPAB的体积为_解析：因为VEPABVPABESABEPAABADPA2344.答案：4 7(2019江苏省高考名校联考(四)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，上、下底面为平行四边形，E为棱CD的中点，设四棱锥EADD1A1的体积为V1，四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为V2，则V1V2_解析：由题意，将侧面ADD1A1作为四棱柱的底面，设顶点C到平面ADD1A1的距离为2h，因为E为棱CD的中点，所以E到平面ADD1A1的距离为h，所以V1V2VEADD1A1VBCC1B1ADD1A1S四边形ADD1A1hS四边形ADD1A1(2h)16.答案：168(2019南京市、盐城市高三年级第二次模拟考试)在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分所示)，折叠成底面边长为的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH的体积为_解析：设正四棱锥S EFGH的高为h，体积为V，点S到HG的距离为h，则2h4，得h，所以h2，所以V()22.答案：9(2019江苏省名校高三入学摸底卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，若某阳马的底面积为7，最长的侧棱长为5，则该阳马的体积的最大值为_解析：设该阳马的底面边长分别为a，b，高为h，最长的侧棱长为l，则ab7，由于l2a2b2h2且l5，所以h2l2(a2b2)(5)22ab502736(当且仅当ab时取等号)，即有hmax6，所以该阳马的体积的最大值为abhmax7614.答案：1410(2019江苏省重点中学领航高考冲刺卷(八)中国古代数学名著九章算术中记载：“今有羡除”刘徽注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，ABCDEF，AB6，CD8，EF10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是_解析：如图，过点A作APCD，AMEF，过点B作BQCD，BNEF，垂足分别为P，M，Q，N，连结PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为10315.棱柱的高为8，体积V158120.答案：12011一个正三棱台的两底面的边长分别为8 cm、18 cm，侧棱长是13 cm，求它的全面积解：上底面周长为c3824 cm，下底面周长c31854 cm，斜高h12 cm，所以S正棱台侧(cc)h(2454)12468 cm2，S上底面8216 cm2，S下底面18281 cm2，所以正三棱台的全面积为S4681681(46897) cm2.12如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积解：法一：连结A1C1，B1D1交于点O1，连结B1D，EF，过O1作O1HB1D于H.因为EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，所以A1C1平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离因为平面B1D1D平面B1EDF，平面B1D1D平面B1EDFB1D，所以O1H平面B1EDF，即O1H为棱锥的高因为B1O1HB1DD1，所以O1Ha.所以VC1B1EDFS四边形B1EDFO1HEFB1DO1Haaaa3.法二：连结EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1h2B1D1a.由题意得，VC1B1EDFVB1C1EFVDC1EFSC1EF(h1h2)a3.1已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则过圆锥的高的中点的平面截圆锥所得的圆台的体积为_解析：如图，在正三角形SAB中，AB2，SO，OB1，O1O，圆台的体积为Vh(r2rrr2).答案：2已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为_解析：如图，设球的半径为R，因为 AOB90，所以SAOBR2.因为 VO ABCVCAOB，而AOB面积为定值，所以当点C到平面AOB的距离最大时，VO ABC最大，所以当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO ABC最大为R2R36，所以R6，所以球O的表面积为4R2462144.答案：1443已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面积为_解析：如图所示，设点D为BC的中点，则A1D平面ABC，因为BC平面ABC，所以A1DBC，因为ABC为等边三角形，所以ADBC，又ADA1DD，AD平面A1AD，A1D平面A1AD，所以BC平面A1AD，因为A1A平面A1AD，所以BCA1A.又因为A1AB1B，所以BCB1B.又因为三棱柱的侧棱与底面边长都等于2，所以四边形BB1C1C是正方形，其面积为4.作DEAB于E，连结A1E，则ABA1E，又因为AD，DE，所以AE，所以A1E，所以S四边形ABB1A1S四边形AA1C1C，所以S三棱柱侧24.答案：244.(2019苏州市高三调研测试)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为_(容器壁的厚度忽略不计，结果保留)解析：由题意知，可将问题转化为求长、宽、高分别是1，2，5的长方体的外接球的表面积，易知该球的直径2R，则该球的表面积为4R230.答案：305四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积解：(1)如图，在四面体ABCD中，设ABBCCDACBDa，ADx，取AD的中点为P，BC的中点为E，连结BP、EP、CP，得到AD平面BPC，所以VABCDVABPCVDBPCSBPCAPSBPCPDSBPCADaxa3.所以该四面体的体积的最大值为a3.(2)由(1)知，ABC和BCD都是边长为a的正三角形，ABD和ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，所以S表2a22a a2aa2a2.6把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解：由题图可知，箱底边长为x，则箱高为h(0xa)，箱子的容积为V(x)x2sin 60hax2x3(0x0；当x时，V(x)0，所以函数V(x)在xa处取得极大值，这个极大值就是函数V(x)的最大值：Vaa3.所以当箱子底边长为a时，箱子容积最大，最大值为a3.