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专题07 曲线运动1、 考法分析和解题技法热门考法考法1 曲线运动的条件及轨迹考法2 运动的合成与分解及应用考法3 平抛运动的规律及应用考法4 圆周运动中的动力学分析考法5 圆周运动的临界问题解题技法技法1 理解合力、速度、轨迹之间的关系，掌握物体做曲线运动的条件；技法2 正确区分分运动和合运动，按实际运动效果分解：(1)确定合速度的方向(就是物体的实际运动方向)；(2)根据合速度产生的的实际运动效果确定分速度的方向；(3)运用平行四边形定则进行分解。运动合成与分解常考模型：小船渡河模型。技法3 理解分解思想在平抛运动中的应用：(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度(2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量。技法4 求解圆周运动问题必须进行的三个分析：(1)几何分析：目的是确定圆周运动的圆心、半径等；(2)运动分析：目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等；(3)受力分析：目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力。竖直平面内圆周运动问题常考模型：小球轻绳模型、小球轻杆模型和汽车过拱桥模型。二、真题再现考例1 (2016课标卷，T18)（多选）一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则()A质点速度的方向总是与该恒力的方向相同B质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直C质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同D质点单位时间内速率的变化量总是不变【答案】BC【考法】曲线运动的条件及轨迹。考例2 (2018全国III卷，T17)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )A. 2倍 B. 4倍 C. 6倍 D. 8倍【答案】A【解析】设甲球落至斜面时的速率为v1，乙落至斜面时的速率为v2，由平抛运动规律，x = vt，设斜面倾角为，由几何关系，小球由抛出到落至斜面，由机械能守恒定律，联立解得：，即落至斜面时的速率与抛出时的速率成正比。同理可得，所以甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时的速率的2倍，选项A正确。【考法】平抛运动的规律及应用。考例3 (2016课标卷，T20)（多选）如图，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P.它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W.重力加速度大小为g.设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则( )Aa BaCN DN【答案】AC【考法】圆周运动中的动力学分析。考例4 (2014课标卷， T20)（多选）如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是() Ab一定比a先开始滑动Ba、b所受的摩擦力始终相等C 是b开始滑动的临界角速度D当 时，a所受摩擦力的大小为kmg【答案】AC【解析】缓慢加速可视为忽略切向加速度，即所有的摩擦力提供向心力，Fm2R，两物体质量和角速度均一样，半径不一样，则b的摩擦力为a的2倍，B项错；b物体先达到极限，所以A项正确；当最大静摩擦提供b的向心力时就是b将要滑动的时候，kmgm22l，则C正确，当时，a没有滑动，则fam2lkmg.故D项错误【考法】圆周运动的临界问题。三、试题预测预测1 在足球场上罚任意球时，运动员踢出的足球，在行进中绕过“人墙”转弯进入了球门，守门员“望球莫及”，轨迹如图所示关于足球在这一飞行过程中的受力方向和速度方向，下列说法中正确的是() A合外力的方向与速度方向在一条直线上B合外力的方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧C合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向D合外力方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向【答案】C【考法】曲线运动的条件及轨迹。预测2 一物体从位于一直角坐标系xOy平面上的O点开始运动，前2 s在y轴方向的vt图象和x轴方向的st图象分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是()甲乙A物体做匀变速直线运动B物体的初速度为8 m/sC2 s末物体的速度大小为4 m/sD前2 s内物体的位移大小为8 m【答案】D【解析】由图象可知，y轴方向为匀加速运动，x轴方向为匀速直线运动，故合运动为曲线运动，A错；物体初速度为4 m/s，B错；2 s末速度vm/s4 m/s，C错；前2 s内位移xm8m，D对【考法】运动的合成与分解及应用预测3 （多选）如图所示，在距地面高为H45 m处，有一小球A以初速度v010 m/s水平抛出，与此同时，在A的正下方有一物块B也以相同的初速度同方向滑出，B与水平地面间的动摩擦因数为0.4，A、B均可视为质点，空气阻力不计(取g10 m/s2)下列说法正确的是() A小球A落地时间为3 sB物块B运动时间为3 sC物块B运动12.5 m后停止DA球落地时，A、B相距17.5 m【答案】ACD【考法】平抛运动的规律及应用。预测4 如图所示，ABC为在竖直平面内的金属半圆环，AC连线水平，AB为固定的直金属棒，在金属棒上和圆环的BC部分分别套着两个相同的小环M、N，现让半圆环绕对称轴以角速度做匀速转动，半圆环的半径为R，小圆环的质量均为m，棒和半圆环均光滑，已知重力加速度为g，小环可视为质点，则M、N两环做圆周运动的线速度之比为() A. BC. D【答案】A【解析】AB杆倾角45，对于M环：mgmr2mvM.对于N环：mgtan mRsin 2mvNvNRsin R所以vMvNg，A对，B、C、D错【考法】圆周运动中的动力学分析。预测5 （多选）如图所示，在水平转台上放置用轻绳相连的质量相同的滑块1和滑块2，转台绕转轴OO以角速度匀速转动过程中，轻绳始终处于水平状态，两滑块始终相对转台静止，且与转台之间的动摩擦因数相同，滑块1到转轴的距离小于滑块2到转轴的距离关于滑块1和滑块2受到的摩擦力f1、f2与角速度的二次方的关系图线，可能正确的是() 【答案】AC【考法】圆周运动的临界问题。4、 跟踪速练1(2018山东潍坊高三上学期期中)关于曲线运动，下列说法正确的是()A曲线运动是变速运动B变速运动一定是曲线运动C物体保持速率不变沿曲线运动，其加速度为零D任何做圆周运动物体的加速度都指向圆心【答案】A2(2018山东泰安高三上学期期中)一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变则该质点()A不可能做匀变速运动B速度的大小保持不变C速度的方向总是与该恒力的方向垂直D任意相等时间内速度的变化量总相同【答案】D【解析】恒力施加后，物体一定做匀变速运动，可能是曲线运动，也可能是直线运动，故选项D正确3(2018山东师大附中高三质检)如图所示，水平面上固定一个与水平面夹角为的斜杆A，另一竖直杆B以速度v水平向左做匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P的速度方向和大小分别为() A水平向左，大小为vB竖直向上，大小为vtan C沿A杆斜向上，大小为D沿A杆斜向上，大小为vcos 【答案】C【解析】两杆的交点P参与了两个分运动：与B杆一起以速度v水平向左的匀速直线运动和沿B杆竖直向上的匀速运动，交点P的实际运动方向沿A杆斜向上，如图所示，则交点P的速度大小为vP，故C正确4. (2018衡阳联考)如图所示，当汽车静止时，车内乘客看到窗外雨滴沿竖直方向OE匀速运动现从t0时汽车由静止开始做甲、乙两种匀加速启动，甲种状态启动后t1时刻，乘客看到雨滴从B处离开车窗，乙种状态启动后t2时刻，乘客看到雨滴从F处离开车窗，F为AB的中点则t1t2为() A21 B1C1 D1(1)【答案】A5(2018山东济南一中上学期期中)如图所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块A.汽车匀速向右运动，在物块A到达滑轮之前，关于物块A，下列说法正确的是()A将竖直向上做匀速运动B将处于超重状态C将处于失重状态D将竖直向上先加速后减速【答案】B【解析】vAv车cos ，v车不变，减小，vA增大，由TmAgma知TmAg，物块A处于超重状态，B对6.(2018华中师大第一附中高三上学期期中)如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端c处在c点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的三等分点d处若不计空气阻力，下列关系式正确的是() Atatb Bta3tbCvavb Dvavb【答案】A【解析】对于a球：hgt，xvata；对于b球：gt，xvbtb，由以上各式得：tatb，vavb，故A对7(2018山东师大附中高三上学期二模)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为() A. B C. D 【答案】B8(2018山东师大附中高三模拟)如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1；B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是()AA、B的运动时间相同BA、B沿x轴方向的位移相同CA、B运动过程中的加速度大小相同DA、B落地时速度大小相同【答案】D【解析】设O点与水平面的高度差为h，由hgt，gsin t可得：t1，t2，故t1t2，A错误；由x1v0t1，x2v0t2，可知，x1x2，B错误；由a1g，a2gsin 可知，C错误；A落地的速度大小为vA，B落地的速度大小vB，所以vAvB，故D正确9(2018山东烟台高三上学期期中)（多选）如图所示，斜面倾角为，从斜面上的P点以v0的速度水平抛出一个小球，不计空气阻力，当地的重力加速度为g，若小球落到斜面上，则此过程中() A小球飞行时间为B小球的水平位移为C小球下落的高度为D小球刚要落到斜面上时的速度方向可能与斜面垂直【答案】AB10(2018山东淄博一中高三上学期期中)如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为45的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则A、B到达C点的速度之比为()A21 B11C. D2【答案】D【解析】对于A球：xv1t，ygt2，xy，t，vAv1；对于B球：v2vygt2v1，vB2v1，所以v1v22.11. (2018山东临沂高三上学期期中)（多选）在一次投球游戏中，某同学调整好力度，将球水平抛向放在地面的小桶中，结果球飞到小桶的右方(如图所示)，不计空气阻力，则下次再投时，他可能作出的调整为() A减小初速度，抛出点高度不变B增大初速度，抛出点高度不变C初速度大小不变，提高抛出点高度D初速度大小不变，降低抛出点高度【答案】AD12（多选）如图所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向上图中画出了从y轴上不同位置沿x轴正向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹小球a从(0,2L)抛出，落在(2L,0)处；小球b、c从(0，L)抛出，分别落在(2L,0)和(L,0)处不计空气阻力，下列说法正确的是() Aa和b初速度相同Bb和c运动时间相同Cb的初速度是c的两倍Da运动时间是b的两倍【答案】BC【解析】b、c的高度相同，小于a的高度，根据hgt2，得t，知b、c的运动时间相同，a的运动时间是b的运动时间的倍故B正确，D错误；因为a的运动时间长，但是水平位移相同，根据xv0t知，a的水平速度小于b的水平速度故A错误；b、c的运动时间相同，b的水平位移是c的水平位移的两倍，则b的初速度是c的初速度的两倍故C正确故选B、C.13(2018山东烟台高三上学期期中)（多选）如图所示，水平圆盘可以绕竖直转轴OO转动，在距转轴不同位置处通过相同长度的细绳悬挂两个质量相同的物体A、B.不考虑空气阻力的影响，当圆盘绕OO轴匀速转动达到稳定状态时，下列说法正确的是() AA比B的线速度小BA与B的向心加速度大小相等C细绳对B的拉力大于细绳对A的拉力D悬挂A与B的细绳与竖直方向夹角相等【答案】AC【解析】物体A、B绕同一轴转动，角速度相同，由vr知，vAvB，由a2r知，aAaB，由Tsin ma，Tcos mg及aAaB得TATB，AB，故A、C正确14(2018甘肃河西五市联考)利用双线可以稳固小球在竖直平面内做圆周运动而不易偏离竖直面，如图所示，用两根长为L的细线系一质量为m的小球，两线上端系于水平横杆上，A，B两点相距也为L，若小球恰能在竖直面内做完整的圆周运动，则小球运动到最低点时，每根细线承受的张力为() A2mg B3mgC2.5mg Dmg【答案】A15. (2018山东青岛市即墨一中高三上学期期中)（多选）如图所示，甲、乙圆盘的半径之比为12，两水平圆盘紧靠在一起，乙靠摩擦随甲不打滑转动两圆盘上分别放置质量为m1和m2的小物体，m12m2，两小物体与圆盘间的动摩擦因数相同m1距甲盘圆心为r，m2距乙盘圆心为2r，此时它们正随圆盘做匀速圆周运动下列判断正确的是() Am1和m2的线速度之比为14Bm1和m2的向心加速度之比为21C随转速慢慢增加，m1先开始滑动D随转速慢慢增加，m2先开始滑动【答案】BC16(2018开封高三模拟)在离心浇铸装置中，电动机带动两个支承轮同向转动，管状模型放在这两个轮上靠摩擦转动，如图所示，铁水注入之后，由于离心作用，铁水紧紧靠在模型的内壁上，从而可得到密实的铸件，浇铸时转速不能过低，否则，铁水会脱离模型内壁，产生次品已知管状模型内壁半径为R，则管状模型转动的最低角速度为() A. B C. D2【答案】A【解析】最易脱离模型内壁的位置在最高点，转动的最低角速度对应铁水在最高点受内壁的作用力为零，即mgm2R，得：，A正确17.(2018四川资阳一诊)（多选）如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角30，此时细绳伸直但无张力，物块与转台间动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，角速度为，重力加速度为g，则() A当时，细绳的拉力为0B当 时，物块与转台间的摩擦力为0C当 时，细绳的拉力大小为mgD当时，细绳的拉力大小为mg【答案】AC18如图所示，ABC为竖直平面内的金属半圆环，AC连线水平，AB为固定在A、B两点间的直金属棒，在直棒和圆环的BC部分上分别套着小环M、N(棒和半圆环均光滑)，现让半圆环绕竖直对称轴以角速度1做匀速转动，小环M、N在图示位置。如果半圆环的角速度为2，2比1稍微小一些，关于小环M、N的位置变化，下列说法正确的是()A小环M将到达B点，小环N将向B点靠近稍许B小环M将到达B点，小环N的位置保持不变C小环M将向B点靠近稍许，小环N将向B点靠近稍许D小环M向B点靠近稍许，小环N的位置保持不变【答案】A19如图所示，在室内自行车比赛中，运动员以速度v在倾角为的赛道上做匀速圆周运动。已知运动员的质量为m，做圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A将运动员和自行车看做一个整体，整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用B运动员受到的合力大小为m，做圆周运动的向心力大小也是mC运动员做圆周运动的角速度为vRD如果运动员减速，运动员将做离心运动【答案】B【解析】向心力是由整体所受的合力提供的，选项A错误；做匀速圆周运动的物体，合力提供向心力，选项B正确；运动员做圆周运动的角速度为，选项C错误；只有运动员加速到所受合力不足以提供做圆周运动的向心力时，运动员才做离心运动，选项D错误。20（多选）如图所示，平面直角坐标系xOy的x轴水平向右，y轴竖直向下，将一个可视为质点的小球从坐标原点O沿x轴正方向以某一初速度向着一光滑固定斜面抛出，小球运动到斜面顶端a点时速度方向恰好沿斜面向下，并沿斜面滑下。若小球沿水平方向的位移和速度分别用x和vx表示，沿竖直方向的位移和速度分别用y和vy表示，则在小球从O点到余斜面底端b点的过程中，下列图象可能正确的是() 【答案】BC21(多选)如图所示，质量为m的小球用长度为R的细绳拴着在竖直面上绕O点做圆周运动，恰好能通过竖直面的最高点A，重力加速度为g，不计空气阻力，则()A小球通过最高点A的速度为B小球通过最低点B和最高点A的动能之差为mgRC若细绳在小球运动到与圆心O等高的C点断了，则小球还能上升的高度为RD若细绳在小球运动到A处断了，则经过t时间小球运动到与圆心等高的位置【答案】AD22(多选)如图所示，两根等长的细线拴着两个小球在竖直平面内各自做圆周运动，某一时刻小球1运动到自身轨道的最低点，小球2恰好运动到自身轨道的最高点，这两点高度相同，此时两小球速度大小相同，若两小球质量均为m，忽略空气阻力的影响，则下列说法正确的是()A此刻两根细线拉力大小相同B运动过程中，两根线上拉力的差值最大为2mgC运动过程中，两根线上拉力的差值最大为10mgD若相对同一零势能面，小球1在最高点的机械能等于小球2在最低点的机械能【答案】CD【解析】题图位置，球1加速度向上，处于超重状态；球2加速度向下，处于失重状态，故球1受到的拉力较大，故A错误；球1在最高点，有：F1mgm，球2在最低点，有：F2mgm，两个球运动过程中机械能守恒，设两球在题图位置的速度为v，对球1：mv2mv122mgR，对球2：mv2mv222mgR，联立解得：F1m5mg，F2m5mg，故F2F110mg，故B错误，C正确；两个球运动过程中机械能守恒，而题图位置两个球的机械能相等，故两个球的机械能一直是相等的，故D正确。23(2013课标卷，T21)（多选）公路急转弯处通常是交通事故多发地带如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势则在该弯道处()A路面外侧高内侧低 B车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动C车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小【答案】AC24.(2014江苏卷，T6)（多选）为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落关于该实验，下列说法中正确的有() A两球的质量应相等B两球应同时落地C应改变装置的高度，多次实验D实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动【答案】BC 25. (2017全国卷，T17)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)()A. B. C. D. 【答案】B【解析】物块由最低点到最高点有：；物块做平抛运动：x=v1t；联立解得：，由数学知识可知，当时，x最大，故选B。26(2016课标卷，T16)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示将两球由静止释放在各自轨迹的最低点，()AP球的速度一定大于Q球的速度BP球的动能一定小于Q球的动能CP球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力DP球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度【答案】C27.(2014课标卷，T17)如图，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为() AMg5mg BMgmgCMg5mg DMg10mg【答案】C【解析】解法一：以小环为研究对象，设大环半径为R，根据机械能守恒定律，得mg2Rmv2，在大环最低点有FNmgm，得FN5mg，此时再以大环为研究对象，受力分析如图，由牛顿第三定律知，小环对大环的压力为FFN，方向竖直向下，故FMg5mg，由牛顿第三定律知C正确解法二：设小环滑到大环最低点时速度为v，加速度为a，根据机械能守恒定律mv2mg2R，且a，所以a4g，以整体为研究对象，受力情况如图所示FMgmgmaM0所以FMg5mg，C正确28(2017课标卷，T15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网其原因是()A速度较小的球下降相同距离所用的时间较多B速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大C速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少D速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大【答案】C29. (2015课标卷，T18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是()A.vL1B.v C.v D.v 【答案】D当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有v2t23hgt联立得v2 所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范围为v ，选项D正确
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