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专题17 选讲系列【训练目标】1、 掌握极坐标与直角坐标的转换公式及意义；掌握直线，圆，椭圆，双曲线的参数方程，能熟练的将参数方程转化为普通方程；2、 理解参数方程中参数的几何意义，并能利用参数解决简单的问题；3、 掌握极坐标中极径的几何意义，能正确使用它来求线段长度；理解极角的含义；4、 掌握极坐标与参数方程和解析几何的综合问题。5、 理解绝对值的含义，能解简单的绝对值不等式；6、 掌握几何意义法解绝对值不等式；能正确的将绝对值函数化为分段函数，并根据分段函数解不等式；7、 掌握绝对值的三角不等式；理解恒成立问题和存在性问题；8、 初步掌握综合法和分析法证明不等式。【温馨小提示】高考中极坐标与参数方程、绝对值不等式的解法及性质一般放在试卷的最后一题，二选一，共10分，属于容易题，必拿分题。题目的类型并不多，平时做题时多总结即可。【名校试题荟萃】1、在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）.在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线。（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值.【答案】（1）， （2）【解析】（1）由消去得,所以直线的普通方程为.由,得.将代入上式,得曲线的直角坐标方程为,即.所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.法2:设与直线平行的直线为,当直线与圆相切时,得,解得或（舍去）,所以直线的方程为.所以直线与直线的距离为.所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.2、在直角坐标系中，曲线：（为参数），在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：（1）写出曲线和的普通方程；（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求使最小时点的坐标【答案】（1）， （2）此时，结合可解得：，即所求的坐标为3、在直角坐标系中，已知曲线、的参数方程分别为：，：（1）求曲线、的普通方程；（2）已知点，若曲线与曲线交于、两点，求的取值范围【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）曲线的普通方程为：，当，时，曲线的普通方程为：，当，时，曲线的普通方程为：；（或曲线：）4、在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设曲线与直线的交点为是曲线上的动点，求面积的最大值【答案】（1）， （2）【解析】（1）由消去得，所以直线的普通方程为，由，得，化为直角坐标方程得：，所以曲线的直角坐标方程为.5、已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.【答案】（1） （2）【解析】（1）由得. 曲线C的直角坐标方程为：. （2）将直线的参数方程代入圆的方程化简得. 设A,B两点对应的参数分别为，则是上述方程的两根，则有. .6、已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；（2）若直线与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求的值【答案】（1），（2）（2）将代入曲线C的极坐标方程得，A点的极坐标为将代入直线l的极坐标方程得，解得B点的极坐标为，7、平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于，两点，试求【答案】（1），（2）将其代入曲线的直角坐标方程可得，设点，对应的参数分别为，由一元二次方程的根与系数的关系知，8、在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（为参数，实数a0），曲线C2：（为参数，实数b0）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：与C1交于O，A两点，与C2交于O，B两点当0时，|OA|2；当时，|OB|4.（1）求a，b的值；（2）求2|OA|2|OA|OB|的最大值【答案】（1）1，2 （2）44化为普通方程为x2（yb）2b2，展开可得极坐标方程为2bsin ，由题意可得当时，|OB|4，b2.（2）由（）可得C1，C2的极坐标方程分别为2cos ，4sin .2|OA|2|OA|OB|8cos28sin cos 4sin 24cos 244sin4，2，4sin4的最大值为44，当2，时取到最大值.9、已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2），求的取值范围【答案】（1） （2）【解析】（1）当时，当时，令，即，解得，当时，显然成立，当时，令，即，解得，综上所述，不等式的解集为（2），有成立，只需，解得，的取值范围为10、已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.【答案】（1） 解集为 （2） 实数的取值范围是.（2）设，则.因为当且仅当时取等号，所以. 因为函数的值域为，所以有解，即.因为，所以，即.所以实数的取值范围是11、已知不等式的解集为（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1） （2）12、已知函数（1）当时，求的解集；（2）当时，恒成立，求的取值范围【答案】（1） （2）【解析】（1）当时，由，可得，或或解得：解得：解得：综上所述，不等式的解集为（2）若当时，成立，即故即对时成立故13、已知函数（1）解不等式（2）若对任意的，任意的，使得成立，求实数a的取值范围【答案】（1） （2）或14、已知（1）当a1，b2时，解不等式f（x）0；（2）若存在a，b的值，使不等式m成立，求实数m的最小值【答案】（1） （2）-2【解析】（1），解得 （2）由得，故，当且时取等号故m的最小值为15、设，.（1）若的最大值为，解关于的不等式；（2）若存在实数使关于的方程有解，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）16、在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线关于极点对称（1）以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,求曲线的极坐标方程；（2）设为曲线上一动点,记到直线与直线的距离分别为,，求+的最小值【答案】（1） （2）【解析】（1）设是曲线上任意一点,则关于原点的对称点在曲线上，且，将代入得，则，即曲线的极坐标方程为。（2）由曲线的极坐标方程为得直角坐标方程为，设，直线与直线的直角坐标方程分别为，从而，故的最小值为。17、在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若曲线上一点的极坐标为，且过点，求的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点，与的交点为，求的最大值.【答案】（1） （2）（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，化简得，可得，故与同号，所以时，有最大值. 此时方程的，故有最大值.18、已知函数（ ）.（1）当时，解不等式；（2）若，求的取值范围【答案】（1）x|0x （2）2，）.（2）若a1，f（x）（a1）|x1|x1|xa|a1，当且仅当x1时，取等号，故只需a11，得a2. 若a1，f（x）2|x1|，f（1）01，不合题意.若0a1，f（x）a|x1|a|xa|（1a）|xa|a（1a），当且仅当xa时，取等号，故只需a（1a）1，这与0a1矛盾. 综上所述， a的取值范围是2，）. 19、已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）设点，若直线与曲线交于两点，且，求实数的值.【答案】（1） （2）或或.【解析】（1）由，得：，即，曲线的直角坐标方程为.由，得，即，直线的普通方程为.，解得：或，都符合，因此实数的值为或或.20、在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的标准方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和圆的极坐标方程；（2）若射线与的交点为，与圆的交点为，且点恰好为线段的中点，求的值【答案】（1） （2）【解析】（1）在直线的参数方程中消去，可得，将，代入以上方程中，所以，直线的极坐标方程为.同理，圆的极坐标方程为.把代入，得， 所以.21、已知函数f（x）|x1|.（1） 解不等式f（2x）f（x4）8；（2） 若|a|1，|b|1，a0，求证： .【答案】（1） （2）见解析【解析】（）f（2x）f（x4）|2x1|x3|当x3时，由3x28，解得x；当3x时，x48无解；当x时，由3x28，解得x2. 所以不等式f（2x）f（x4）8的解集为.（II）证明：等价于f（ab）|a|，即|ab1|ab|. 因为|a|1，|b|1，所以|ab1|2|ab|2（a2b22ab1）（a22abb2）（a21）（b21）0， 所以|ab1|ab|.故所证不等式成立10分22、已知函数（1）求函数的最小值； （2）在（）的条件下，设，且，求证：【答案】（1） （2）见解析23、已知函数f（x）|x2|ax2|（1）当a2时，求不等式f（x）2x1的解集；（2）若不等式f（x）x2对x（0，2）恒成立，求a的取值范围【答案】（1）x|x5或x1 （2）1，3【解析】（1）当a2时，当x2时，由x42x1，解得x5；当2x1时，由3x2x1，解得x；当x1时，由x42x1，解得x1综上可得，原不等式的解集为x|x5或x124、已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（1）写出直线的一般方程与曲线的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；（2）将曲线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到曲线，设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的取值范围.【答案】（1）见解析 （2）.【解析】（1）直线的一般方程为，曲线的直角坐标方程为.因为，所以直线和曲线相切.25、已知函数的定义域为；（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最大值，若实数，满足，求的最小值【答案】（1） （2）【解析】（1）由题意可知恒成立，令，去绝对值可得：，画图可知的最小值为-3，所以实数的取值范围为； （2）由（1）可知，所以， ，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为. 26、已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围.【答案】（1） （2）（2）因为的解集包含不等式可化为解得，由已知得，解得，所以的取值范围是.27、在极坐标系中， 已知圆C的圆心C（）， 半径r =（1） 求圆C的极坐标方程；（2） 若 ， 直线的参数方程为为参数）， 直线交圆C于A、 B两点， 求弦长|AB|的取值范围【答案】（1） （2）【解析】（1）由得，直角坐标,所以圆的直角坐标方程为, 由得，圆的极坐标方程为
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