Mathematica教程-2常用的数学函数.ppt

常用的数学函数 Mathematica里定义了许多数学函数 包括三角函数 指数对数函数 双曲函数和许多特殊函数 这些函数都可以用在表达式里 命名规则一般使用习惯的英文缩写 应该注意的是 函数名都是由字符串表示 字符之间不能有空格 函数名字的第一个字母总是大写的 后面的字母是小写的 但如果名字是由几个段构成的 如ArcSin 则每段的第一个字母都必须大写 这些是Mathematica内部函数取名的规则 再一点应当特别注意 函数的参数是用方括号括起来的 如Sin x 三角函数 Sin x Cos x Tan x Cot x 等反三角函数 ArcSin x ArcCos x ArcTan x 等双曲函数与反双曲函数 Sinh x Cosh x Tanh x ArcSinh x ArcCosh x ArcTanh x 指数函数E x 或Exp x 指数函数a x对数函数lnx用Log x 以a为底的对数函数用Log a x 平方根函数 Sqrt x 绝对值函数 Abs x Max x1 x1 取x1 x2 中的最大值Min x1 x2 取x1 x2 中的最小值Sign x 符号函数 x大于0时值为1 小于0时值为 1 常用函数的命令格式 Round x 最接近x的整数Floor x 不大于x的最大整数Ceiling x 不小于x的最小整数Abs x x的绝对值或复数的摸x Iy 复数x iy Re z 复数z的实部Im z 复数z的虚部 Arg z 复数z的幅角Divisors n 能整除n的所有整数组成的表Mod m n m被n除的正余数Quotient m n m n的整数部分GCD n1 n2 求n1 n1 的最大公因数LCM n1 n2 求n1 n2 的最小公倍数 Random 0 1之间的随机数Random Real xmax 0 xmax之间的随机数Random Real xmin xmax xmin xmax之间的随机数N 表达式 k 求表达式的近似值 k为可选项 它指定计算结果的有效数字的位数 系统默认精度为六位有效数字N n的阶乘N n的双阶乘 在Mathematica中 除使用系统提供的函数外 也可自定义函数 定义一个不带附加条件的一元函数的规则是f x 或f x 后面紧跟一个以x为变量的表达式 其中x 称为形式参数 如果需要给出附加条件 可在表达式的后面通过 与表达式连接 即形式为 f x 表达式 条件 调用自定义函数f x 时 只需用实在参数 变量或数值等 代替其中的形式参数即可 对于定义的函数我们可以使用命令Clear f 清除掉或用Remove f 从系统中删除该函数 自定义函数 函数的立即定义 立即定义函数的语法如下f x expr函数名为f 自变量为x expr是表达式 在执行时会把expr中的x都换为f的自变量x 不是x 函数的自变量具有局部性 只对所在的函数起作用 函数执行结束后也就没有了 不会改变其它全局定义的同名变量的值 例 定义函数f x x Sinx x2 对定义的函数求函数值 并绘制它的图形 多变量函数的定义 也可以定义多个变量的函数 格式为f x y z expr自变量为x y z 相应的expr中的自变量会被替换 例如定义函数f x y xy ycosx 使用条件运算符定义和If命令定义函数 如果要定义如 可以使用条件运算符 基本格式为f x expr condition当condition条件满足时才把expr赋给f 当然使用If命令也可以定义上面的函数 表 将一些相互关联的元素放在一起 使它们成为一个整体 既可以对整体操作 也可以对整体中的一个元素单独进行操作 在Mathematica中这样的数据结构就称作表 List 表主要有三个用法 表 a b c 可以表示一个向量 表 a b c d 可表示一个矩阵 建表 在表中元素较少时 可以采取直接列表的方式列出表中的元素 如 1 2 3 In 1 1 2 3 Out 1 1 2 3 下面是符号表达式的列表In 2 1 x x Out 2 1 2x 1 2x x2 1 3x x2 下面是对列表中的表达式对x求导In 3 D x Out 3 2 2 2x 3 2x In 4 x 1Out 4 2 4 5 下面给出x乘i的值的表 i的变化范围为 2 6 In 1 Table x i i 2 6 Out 1 2x 3x 4x 5x 6x In 2 Table x 2 4 Out 2 x2 x2 x2 x2 用Range函数生成一个序列数In 3 Range 10 Out 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 下面这个序列是以步长为2 范围从8到20In 4 Range 8 20 2 Out 4 8 10 12 14 16 18 20 如果表中的元素较多时 可以用建表函数进行建表Table f i min max step 以step为步长给出f的数值表 i由min变到max Table f min max 给出f的数值表 i由min变到max步长为1Table f max 给出max个f的表Table f i imin imax j jmin jmax 生成一个多维表TableForm list 以表格格式显示一个表Range n 生成一个 1 2 的列表Range n1 n2 d 生成 n1 n1 d n1 d n2 的列表 表达式 表达式的含义Mathematica能处理数学公式 表以及图形等多多种数据形式 尽管他们从形式上看起来不一样 但在Mathematica内部都被看成同种类型 即都把他们当作表达式的形式 Mathematica中的表达式是由常量 变量 函数 命令 运算符和括号等组成 最典型的形式是f x y 表达式的表示形式在显示表达式时 由于需要的不同 有时我们需要表达式的展开形式 有时又需要其因子乘积的形式 在我们计算过程中可能得到很复杂的表达式 这时我们又需要对它们进行化简 常用的处理这种情况的函数 Expand expr 按幂次升高的顺序展开表达式Factor expr 以因子乘积的形式表示表达式Simplify expr 进行最佳的代数运算 并给出表达式的最少项形式Apart expr 将多项式为化为部分分式之和 表达式 x y 4 x y 2 展开 还原上面的表达式为因子乘积的形式 多项式表达式的项数较多 比较复杂 在显示时显得比较杂乱 而且在计算过程中没有必要知道全部的内容 或表达式的项很有规律 没有必要打印全部的表达式的结果 Mathematica提供了一些命令 可将它缩短输出或不输出expr Short 显示表达式的一行形式Short expr n 显示表达式的n行形式 命令后加一分号 不打印结果 将表达式 1 x 30展开 并仅显示一行有代表项的式子 称ditto运算符 有重复以前内容的意思 在计算过程中某次的计算可能要用到上次的计算结果 或者前几次的计算结果 就可用 符 用法如下 运算结果的读取 运算符 置换运算符 代数式里的变量可以用某表达式替换 生成新的代数式 也可以把代数式里的所有的变量用数值替换 得到此代数式的计算结果 替换的格式为 expr x x0 表示将表达式里的变量x用x0代替 expr x x0 y y0 表示将代数式里的变量x y 用x0 y0 代替 字符串 由一个除号和一个圆点符号组成字符串 由一个减号和一个大于符号连成 关系表达式与逻辑表达式 关系表达式是最简单的逻辑表达式 我们常用关系表达式表示一个判别条件 例如 x 0 y 0 关系表达式的一般形式是 表达式 关系算子 表达式 其中表达式可为数字表达式 字符表达式或意义更广泛的表达式 如一个图形表达式等 在我们实际运用中 这儿的表达式常常是数字表达式或字符表达式 关系运算 例如 In 1 x 2 y 9Out 1 9 In 2 x yOut 2 false下面是比较两个表达式的大小In 3 3 2 y 1Out 3 True 逻辑运算 四种主要逻辑运算 逻辑非 逻辑与 逻辑或 逻辑异或 常用的符号 term 圆括号用于组合运算f x 方括号用于函数 花括号用于列表 i 双括号用于排序 代表最后产生的结果 倒数第二次的算结果 k 倒数第k次的计算结果 n例出行Out n 的结果 多项式的表示形式 多项式的运算与表达式的运算基本一样 表达式中的各种输出形式也可用于多项式的输出 Mathematica提供一组按不同形式表示代数式的函数 Expand ploy 按幂次展开多项式ployExpand ploy 全部展开多项式ployExpandAll ploy 全部展开多项式ployFactor ploy 对多项式poly进行因式分解FactorTerms ploy x y 按变量x y 进行分解Simplify poly 把多项式化为最简形式FullSimplify ploy 把多项式展开并化简Collect ploy x 把多项式poly按x幂展开Collect poly x y 把多项式poly按x y 的幂次展开 对x 8 1进行分解 展开多项式 1 x 5 化简 2 x 4 1 x 4 3 x 3 多项式的代数运算 使用Cancel函数可以约去公因式In 8 Cancel 2 3a a 2 1 a Out 8 2 a 两个多项式相除 总能写成一个多项式和一个有理式相加Mathematic中提供两个函数PolynomialQuotient和PolynomialRemainder分别返商式和余式 两个多项式相除 总能写成一个多项式和一个有理式相加Mathematic中提供两个函数PolynomialQuotient和PolynomialRemainder分别返回商式和余式 方程及其根的表示 Mathematica把方程看作逻辑语句 在数学方程式表示为形如 x 2 2x 1 0 的形式 在Mathematica中用 表示逻辑等号 则方程应表示为 x 2 2x 1 0 方程的解同原方程一样被看作是逻辑语句 例如用Roots求方程x 2 3x 2的根显示为 用Solve 可得解集形式 求解一元代数方程 Solve lhs rhs vars 给出方程的解集NSolve lhs rhs vars 直接给出方程的数值解集Roots lhs rhs vars 求表达式的根FindRoot lhs rhs x x0 以x x0为初始值 求方程的解 当方程中有一些复杂的函数时 Solve 可能无法直接给出解来 此时可用FindRoot 来求解 例如 求3Cosx logx的解 如果方程有几个不同的解 当给定不同的初始值时 会给出不同的解 如上例若求x 10附近的 则 因此确定解的起始位置是比较关键 一种常用的方法是 先绘制图形观察后再解 如上例通过图形可断定在x 5附近有另一根 求方程组的根 使用Solve和NSolve FindRoot也可求方程组的解求解 求方程的全解 求ax 2 bx c 0的根 我们用Solve函数解的结果是 这不大合理 因为对不同的a b c方程的解有不同的情况 而上面只是给出部分解 如果要解决这个问题可用Reduce命令 它可根据 a b c的取值给出全部值 解条件方程 在作方程计算时 可以把一个方程看作你要处理的主要方程 而把其他方程作为必须满足的辅助条件 你将会发现这样处理很方便 譬如在求解像这样的方程时 通常我们采用的代换方法使求解方程得到简化 在Mahematica中 我们通常是首先命名辅助条件组 然后用名字把辅助条件包含在你要用函数Solve 求解的方程组中 用Sc定义方程 在这种条件下 求解方程 求和与求积 在Mathematica中 数学上的和式符号用Sum表示 连乘用Product表示 Sum f i imin imax 求和Sum f i imin imax di 以步长di增加i求和Sum f i imin imax j jmin jmax 嵌套求和Product f i imain imax 求积Product f i imin imax di 以步长di增加i求积Product f I imin imax j jmin jmax 嵌套求积Nsum f i imin Infinity 求近似值NProduct f i imin Infinity 求近似值