2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5.3 反证法和放缩法导学案 新人教B版选修4-5.docx

1.5.3反证法和放缩法1.理解反证法和放缩法的概念.2.会用反证法和放缩法证明较简单的不等式.自学导引1.反证法：首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确.2.放缩法：将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的.如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值缩小，反之，把分母缩小，则分式的值放大.基础自测1.设M，则()A.M1 B.M1 D.M与1大小关系不定解析M是210项求和，M1，故选B.答案B2.已知a，bR，下列各式中成立的是()A.cos2lg asin2lg blg(ab)C.acos2bsin2abD.acos2bsin2ab解析cos2lg asin2lg bcos2lg a(1cos2)lg bcos2lglg blglg blg alg(ab)，故选A.答案A3.lg 9lg 11与1的大小关系是_.解析lg 9lg 11121.答案lg 9lg 110，abbcca0，abc0.求证：a0，b0，c0.证明假设a、b、c不全是正数，即至少有一个小于或等于0.又abc0，不妨假设a0，则bca0，a(bc)0.a(bc)0，又bc0，bca(bc)0.即abbcca0矛盾.假设不成立.故a0，b0，c0成立.反思感悟：用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立.1.设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b2不可能同时成立.证明由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a2及a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾.故a2a2与b2b2不可能同时成立.知识点2放缩法证明不等式【例2】 设Sn，求证：不等式Sn12n.且SnSn.反思感悟：用放缩法证明不等式的过程中，往往采用“添舍”放缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不等式收缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递.2.求证：12 (nN*).证明1112c，求证：.证明abc，abc0，由真分数的性质：.反思感悟：函数的单调性和“真分数的分子、分母同加上一正数，所得新分数的值变大”的性质都是放缩的重要依据.3.求证：0，S3，即0”是“P、Q、R同时大于零”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分且必要条件 D.既不充分又不必要条件解析必要性是显然成立的当PQR0时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P0，Q0，R0，则QR2c0矛盾，即充分性也成立.答案C2.已知a，b，c，d都是正数，S，则S的取值范围是_.答案(1，2)3.用反证法证明：如果a，b为正数，则a3b3a2bab2.证明假设a3b3a2bab2，则a3b3a2bab20.a2(ab)b2(ab)0即(ab)2(ab)0.又(ab)20，ab2)，则()A.pqB.p0，p224，而q2(a2)22，根据a2，可得qq.答案A2.不等式ab与能同时成立的充要条件是()A.ab0 B.a0bC.0解析充分性显然.下面用反证法说明必要性.若a，b同号且ab，则有b与同时成立，a，b只能异号，即a0b.答案B3.若f(x)，a，b都为正数，Af，Gf()，Hf，则()A.AGH B.AHGC.GHA D.HGA解析a，b为正数，又f(x)为单调减函数，ff()f，AGH.答案A4.设x0，y0，A，B，则A与B的大小关系为_.解析A (x0，y0)B，Am时，求证：m|a|，|x|m|b|，|x|m1，|x|2m2|b|1|b|0，abbcca0，abc0，则a，b，c三数()A.全为正数B.至多有两个为正数C.至多有一个为正数D.全为负数解析假设a，b，c不全为正数，abc0，有两个负数一个正数，不妨设a，b为负数，c为正数，abc0，c(ab)0，又abbcca0，ab(bcca)c(ab)(ab)2，这与(ab)24ab矛盾，故假设错误，a，b，c全为正数.选A.答案A8.若实数mn，正数ab，A(anbn)m，B(ambm)n，则()A.ABB.Ab0，0n，amnamn，即AB，故选A.答案A9.若|a|1，|b|1，则|ab|ab|与2的大小关系是_.解析当(ab)(ab)0时，|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|2；当(ab)(ab)0时，|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|2.综上，|ab|ab|2.答案|ab|ab|0，a，b，c都为正，或者a，b，c中有一正二负.又abc0，a，b，c中只能是一正二负.不妨设a0，b0，c ，a，b，c中至少有一个大于.12.已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明an是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.证明(1)由an13an1得an13.又a1，所以是首项为，公比为3的等比数列.an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1.所以.