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2.5圆锥曲线的统一定义学习目标1.了解三种圆锥曲线的统一定义，掌握三种圆锥曲线的区别与联系.2.学会利用圆锥曲线的统一定义解有关问题.3.掌握圆锥曲线的准线方程的概念知识点一圆锥曲线的统一定义观察图形，思考下列问题：思考1上面两个图中分别对应什么曲线？答案图(1)为椭圆，图(2)为双曲线思考2当0e1呢？答案当0e1时，对应的曲线为双曲线梳理知识点二圆锥曲线的焦点坐标和准线方程标准方程焦点坐标准线方程椭圆1(ab0)(c,0)x1(ab0)(0，c)y双曲线1(a0，b0)(c,0)x1(a0，b0)(0，c)y抛物线y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y1若平面内动点P到定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比是一个常数e(e0)，则动点P的轨迹是圆锥曲线()2抛物线y22x0的准线方程为x.()3点M(x，y)到定点F(4,0)的距离和它到直线l：x的距离的比是常数，则点M的轨迹为1.()类型一利用统一定义确定曲线形状例1判断下列各动点的轨迹表示的是什么？(1)定点F，定直线为l，Fl，动点M到定点F的距离MF与动点M到定直线l的距离d的比为2；(2)定点F，定直线为l，Fl，动点M到定直线l的距离d与动点M到定点F的距离MF的比为5；(3)到定点F和到定直线l的距离相等的点的轨迹；(4)定点Fl，到定点F的距离与到定直线l的距离的比大于1的点的轨迹解(1)因为21，所以动点的轨迹是双曲线(2)因为5，所以01，故动点的轨迹是双曲线类型二与圆锥曲线的准线相关的问题例2已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程为yx，焦点到相应准线的距离为，求双曲线的方程解设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，依题意得c，又，结合c2a2b2，解得a29，b23，所以双曲线的方程为1.引申探究本例中两准线之间的距离是多少？解据本例，得方程1，两准线之间的距离为223.反思与感悟求圆锥曲线的准线方程的步骤跟踪训练2根据下列条件，求椭圆的标准方程：(1)经过点，且一条准线为x5；(2)两准线间的距离为，焦距为2.解(1)由于椭圆的一条准线为x5，可见椭圆的焦点在x轴上，故可设椭圆方程为1(ab0)，依题意有解得a25，b24或a221，b2.故所求椭圆方程为1或1.(2)依题意有解得故所求椭圆方程为1或1.类型三圆锥曲线的统一定义及应用例3已知点A(3,1)，且点F(2,0)是双曲线x21的右焦点，在双曲线上找一点P，使PAPF的值最小，求点P的坐标解由双曲线方程知，a1，b，c2，离心率e2，与焦点F(2，0)对应的准线l：x.设点P到准线l的距离为d，由圆锥曲线的统一定义有2，PFd.如图，过点P，A作l的垂线PP1，AA1，垂足分别为P1，A1，则PAPFPAPP1AA1.当点P为AA1与双曲线的交点，即P时，PAPF的值最小反思与感悟一般地，在圆锥曲线上求一点P，使PAPF(其中A是圆锥曲线内部的定点，F是焦点，e是离心率)最小时，都是利用圆锥曲线的统一定义来处理的跟踪训练3已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆1内的两个点，M是椭圆上的动点(1)求MAMB的最大值和最小值；(2)求MBMA的最小值及M的坐标解(1)如图所示，由1，知a5，b3，c4.所以点A(4,0)为椭圆的右焦点，则左焦点为F(4,0)则MAMF2a10，即MAMB10MFMB.因为|MBMF|BF2，所以2MBMF2，故102MAMB102.即MAMB的最大值为102，最小值为102.(2)由题意知，椭圆的右准线为x，过M点作右准线的垂线，垂足为M，由圆锥曲线的统一定义知，e，即MAMM.所以MBMAMBMM.当B，M，M三点共线时，MBMM有最小值，最小值为BM2.当y2时，由1，解得x或x(舍去)，此时点M的坐标为.1中心在原点，一条准线方程为x8，离心率为的椭圆方程为_答案1解析由题意，得e，8，a4，c2，椭圆方程为1.2已知双曲线3x2y29，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于_答案2解析双曲线的方程可化为1，则a23，b29，故c212，e24，则e2.因此所求比值为2.3若双曲线1上一点P到双曲线上焦点的距离是8，那么点P到上准线的距离是_答案解析设点P到上准线的距离为d，由，得d.4椭圆1上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，那么点P到右焦点的距离为_答案8解析如图所示，PF1PF22a10，e，而e，PF12，PF210PF11028.5已知抛物线y24x上一点M到焦点的距离为5，则点M到y轴的距离为_答案4解析由抛物线定义知点M到准线x1的距离为5，所以点M到y轴的距离为4.1圆锥曲线的统一定义给出了三个量：定点F，定直线l及常数e.其中要求定点F不在定直线l上，且规定e是到定点的距离与到定直线距离的比值，两者顺序不可颠倒2在圆锥曲线中，椭圆与双曲线都有两个焦点，两条准线在椭圆或双曲线中，图象上的点到焦点的距离与到相应准线的距离的比等于它们的离心率3圆锥曲线中求线段和最值的问题，充分利用圆锥曲线的统一定义进行“化曲为直”，进而求出最值一、填空题1设双曲线的焦距为2c，两条准线间的距离为d，且cd，那么双曲线的离心率e_.答案解析c，c22a2，e22，e.2中心在原点，准线方程为y4，离心率为的椭圆的标准方程是_答案1解析依题意得解得故椭圆的标准方程是1.3到直线y4的距离与到A(0，2)的距离的比值为的点M的轨迹方程为_答案1解析设M(x，y)，由题意得.化简得1.4椭圆1上的点到左准线的距离是，则该点到右准线的距离是_答案8解析准线方程为x，则两准线间的距离为，故所求的距离为8.5已知双曲线1的一条渐近线的方程为yx，则此双曲线两条准线间的距离为_答案2解析由题意知，1，m4，准线方程为x，故两条准线间的距离为2.6双曲线的方程为1，则以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程是_答案y2x解析双曲线的右准线方程为x，从而可得抛物线的标准方程为y2x.7已知椭圆的一个焦点为F1(0，2)，对应的准线方程为y，且离心率e满足，e，成等比数列，则此椭圆的方程为_答案x21解析，e，成等比数列，且0e0，b0)，抛物线y24x的焦点为(1,0)，由此可得a1.由得c2.所以b2c2a23，于是双曲线的方程为x21，其渐近线方程为xy0.9已知双曲线1(a0，b0)的离心率为，右准线方程为x，则双曲线方程为_答案x21解析由得所以b2312.所以双曲线方程为x21.10在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为_答案解析设椭圆的方程为1(ab0)，则右焦点F(c,0)，右准线l：x.把xc代入椭圆的方程得y2b2，即y.依题设知且c1，所以e1.11椭圆1(ab0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点为M，N，若MN2F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是_答案解析由题意有MN2F1F2，222c，即a22c2，故e，又0e1，e0，b0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是_答案(2，)解析由已知得e，即3c25ac2a2，所以3e25e20，解得e2或e0，又(1，)，有|2，|.又，.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由(1，)，得x11c.由圆锥曲线的统一定义可知，PFeaex1a(1c)2，同理，QFa，由得，a2c.代入得c1，椭圆方程为1.
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