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第2课时利用导数研究不等式恒成立问题1.(2019南宁二中、柳州高中联考)已知函数f(x)=x-1-aln x(a0).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若对于任意的x1,x2(0,1,且x1x2,都有|f(x1)-f(x2)|0),x0,a0,f(x)在(0,+)上单调递增.(2)不妨设0x11x20,由(1)知f(x1)f(x2),|f(x1)-f(x2)|41x1-1x2f(x2)-f(x1)f(x2)+4x2.设g(x)=f(x)+4x,x(0,1,易知g(x)在(0,1上单调递减,g(x)0在(0,1上恒成立1-ax-4x2=x2-ax-4x20在(0,1上恒成立ax-4x在(0,1上恒成立,易知y=x-4x在(0,1上单调递增,其最大值为-3.a0,-3a0时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)对任意的x0,+), f(x)x+1恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)当a0时, f (x)=ae-x-(ax+1)e-x=ae-xa-1a-x,由于e-x0,a0,所以令f (x)0,得xa-1a.所以当a0时, f(x)的单调递增区间是-,a-1a.(2)令h(x)=(ax+1)e-x-x-1,则f(x)x+1对于任意的x0,+)恒成立等价于h(x)0在x0,+)恒成立.(i)若a0,则当x0时,ax+11,0e-x1f(x)1,而x+11,即f(x)x+1恒成立.(ii)若02,则h(0)=e-0(a-1-a0)-1=a-20,h(1)=e-1(a-1-a)-1=-e-1-10.所以h(x)=0在(0,1)上有零点.当x(0,1)时,设g(x)=h(x),则g(x)=e-x(ax+1-2a)e-x(1-a)0,h(x)在(0,x0)上为增函数,则x(0,x0)时,h(x)h(0)=0,所以f(x)x+1,不符合题意.综上可得,符合题意的a的取值范围是(-,2.3.(2019陕西质量检测一)已知函数f(x)=ln x,g(x)=x-1.(1)求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)证明:f(x)g(x);(3)若不等式f(x)ag(x)对任意的x(1,+)均成立,求实数a的取值范围.解析(1)f (x)=1x,f (1)=1.又f(1)=0,切线的方程为y-f(1)=f (1)(x-1),即所求切线的方程为y=x-1.(2)证明:设h(x)=f(x)-g(x)=ln x-x+1,则h(x)=1x-1,令h(x)=0,得x=1,当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,+)h(x)+0-h(x)单调递增极大值单调递减h(x)h(x)max=h(1)=0,即f(x)g(x).(3)易知对任意的x(1,+), f(x)0,g(x)0.(i)当a1时, f(x)g(x)ag(x);(ii)当a0时, f(x)0,ag(x)0,不满足不等式f(x)ag(x);(iii)当0a(1)=0,不满足不等式.综上,实数a的取值范围是1,+).4.(2019河北“五个一名校联盟”模拟)已知a为实数,函数f(x)=aln x+x2-4x.(1)若x=3是函数f(x)的一个极值点,求实数a的值;(2)设g(x)=(a-2)x,若存在x01e,e,使得f(x0)g(x0)成立,求实数a的取值范围.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+), f (x)=ax+2x-4=2x2-4x+ax.x=3是函数f(x)的一个极值点,f (3)=0,解得a=-6.经检验,当a=-6时,x=3是函数f(x)的一个极小值点,符合题意,故a=-6.(2)由f(x0)g(x0),得(x0-ln x0)ax02-2x0,记F(x)=x-ln x(x0),则F(x)=x-1x(x0),当0x1时,F(x)1时,F(x)0,F(x)单调递增.F(x)F(1)=10,ax02-2x0x0-lnx0.记G(x)=x2-2xx-lnx,x1e,e,则G(x)=(2x-2)(x-lnx)-(x-2)(x-1)(x-lnx)2=(x-1)(x-2lnx+2)(x-lnx)2.x1e,e,2-2ln x=2(1-ln x)0,x-2ln x+20,当x1e,1时,G(x)0,G(x)单调递增.G(x)min=G(1)=-1,aG(x)min=-1,故实数a的取值范围为-1,+).
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