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第三章 函数的应用周练卷(六)(时间:90分钟满分:120分)【选题明细表】 知识点、方法题号方程的根或函数零点个数及应用8,10,12,13,16,17函数零点所在的区间1,2,9二分法求方程根的近似值7,15几类不同增长的函数模型5,6函数模型3,4,11,14,18,19,20一、选择题(每小题5分,共60分)1.函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间是(B)(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:函数f(x)=log2x+x-2在(0,+)上连续,f(1)=0+1-20,故函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间是(1,2).故选B.2.设x0是函数f(x)=ln x+x-4的零点,则x0所在的区间为(C)(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)解析:因为f(2)=ln 2+2-4=ln 2-2ln e-1=0,f(2)f(3)0.由零点存在定理,得x0所在的区间为(2,3).故选C.3.某城区按以下规定收取水费:若每月用水不超过20 m3,则每立方米水费按2元收取;若超过20 m3,则超过的部分按每立方米3元收取.如果某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元,则这户居民这月共用水(D)(A)46 m3 (B)44 m3 (C)26 m3 (D)25 m3解析:设这户居民该月共用了x m3的水,202+(x-20)3=2.2x,40+3x-60=2.2x,0.8x=20,x=25.故这户居民这个月共用了25 m3的水.故选D.4.有浓度为90%的溶液100 g,从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作,要使浓度低于10%,这种操作至少应进行的次数为(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1)(C)(A)19(B)20(C)21(D)22解析:操作次数为n时的浓度为()n+1,由()n+1=21.8,又nN*,所以n21.故选C.5.若x(0,1),则下列结论正确的是(A)(A)2xlg x (B)2xlg x(C)2xlg x (D)lg x2x解析:取x=,则lg 1.所以2xlg x.故选A.6.某商场一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势,下列四个函数中,能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系且满足f(1)=8,f(3)=2的函数为(D)(A)f(x)=20()x(B)f(x)=-6log3x+8(C)f(x)=x2-12x+19(D)f(x)=x2-7x+14解析:A.f(x)=20()x为减函数,不满足条件先下降后上升的趋势;B.f(x)=-6log3x+8为减函数,不满足条件先下降后上升的趋势;C.f(x)=x2-12x+19满足销售额先下降后上升的趋势,f(1)=1-12+19=8,f(3)=9-123+19=-8,不满足条件f(3)=2;D.f(x)=x2-7x+14满足销售额先下降后上升的趋势,f(1)=1-7+14=8,f(3)=9-73+14=2,满足条件.故满足条件的函数为f(x)=x2-7x+14.7.某方程在区间D=(2,4)内有一无理根,若用二分法求此根的近似值,要使所得近似值的精确度达到0.1,则应将D等分(D)(A)2次(B)3次(C)4次(D)5次解析:等分1次,区间长度为1,等分2次区间长度为0.5,等分4次,区间长度为0.125,等分5次,区间长度为0.062 50(B)a0(C)a0(D)a0解析:函数y=x2+a存在零点,则x2=-a有解,所以a0.故选B.9.函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间是(C)(A)(,1) (B)(1,e-1)(C)(e-1,2)(D)(2,e)解析:因为f(x)在(0,+)上是增函数,又f(e-1)=ln e-=1-=ln e-1=0.所以f(x)的零点在(e-1,2)内.故选C.10.函数f(x)=的零点有(A)(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:由=0解得x=1或x=3.由解得x2且x3.所以f(x)的定义域为x|x2且x3.又1x|x2且x3,3x|x2且x3,所以函数f(x)没有零点.故选A.11.如表显示出函数y随自变量x变化的一组数据,由此可判断它最可能的函数模型为(C)x-2-10123y0.261.113.9616.0563.98(A)一次函数模型(B)二次函数模型(C)指数函数模型(D)对数函数模型解析:由表格可知,无论x0,都有y0,且随着x增大,y增大速度变快,故最有可能的是指数函数模型.设y=f(x)=cax(a0且a1),由解得所以f(x)=4x.验证:f(-1)=4-1=0.25接近0.26,f(0)=1接近1.11,f(1)=4接近3.96,f(3)=43=64接近63.98.由上面验证可知,取函数f(x)=4x与所给表格拟合的较好.故选C.12.已知函数f(x)=则函数y=ff(x)+1的零点个数是(A)(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:由函数f(x)=可得y=ff(x)+1=由y=0故函数y=ff(x)+1共4个零点,选A.二、填空题(每小题5分,共20分)13.函数f(x)=的零点个数是.解析:当x0时,令x2-2=0,解得x=-(正根舍去),所以在(-,0上有一个零点.当x0时,f(x)在(0,+)上是增函数.又因为f(2)=-2+ln 20,f(2)f(3)0).又因为f(x)=x+在(0,2上是减函数,在2,+)上是增函数.所以当x=2时,x+取得最小值4,此时y取得最小值4004+800=2 400.所以该容器的最低总造价为2 400元.答案:2 400元15.根据下表,用二分法求函数f(x)=x3-3x+1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度0.1)是.f(1)=-1f(2)=3f(1.5)=-0.125f(1.75)=1.109 375f(1.625)=0.416 015 625f(1.562 5)=0.127 197 265解析:由表中数据知f(1.5)f(2)0,f(1.5)f(1.562 5)0,所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上,又因为|1.562 5-1.5|=0.062 50.1,所以函数f(x)=x3-3x+1在区间(1,2)上的零点位于(1.5,1.562 5)内,所以近似值可以取1.5.答案:1.516.方程x2+ax-2=0在区间1,5上有解,则实数a的取值范围为.解析:令f(x)=x2+ax-2,则f(0)=-25的解集;(2)若方程f(x)-=0有三个不同实数根,求实数m的取值范围.解:(1)当x0时,由x+65,得-10时,由x2-2x+25,得x3.综上所述,不等式的解集为(-1,0(3,+).(2)方程f(x)-=0有三个不同实数根,等价于函数y=f(x)与函数y=的图象有三个不同的交点.由图可知,12,解得-2m-或m2.所以实数m的取值范围为(-2,-)(,2).18.(本小题满分10分)某地区西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿的种植成本Q(单位:元/100 kg)与上市时间t(距2月1日的天数,单位:天)的数据如下表:时间t50110250成本Q150108150(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系,Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt(简单说明理由),并求出你所选函数的表达式;(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.解:(1)由表中数据可知,随着时间t的增大,种植成本Q先减后增,在给出的函数中Q=at+b,Q=abt,Q=alogbt都是单调函数,都不适合描述Q与t的变化关系,所以应选择Q=at2+bt+c描述Q与t的变化关系.由解得所以Q=t2-t+(tN*).(2)由(1)知,Q=(t-150)2+100.所以当t=150时,Q取得最小值100.于是,西红柿种植成本最低时上市天数为150天,最低种植成本为100元/100 kg.19.(本小题满分12分)一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?解:(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x1),则a(1-x)10=a,即(1-x)10=,解得x=1-().(2)设经过m年,森林剩余面积为原来的,则a(1-x)m=a,即()=(),=,解得m=5,故到今年为止,该森林已砍伐了5年.20.(本小题满分10分)某上市股票在30天内每股交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上,该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示:第t天4101622Q(万股)36302418(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式;(3)用y表示该股票日交易额(万元),写出y关于t的函数关系式,并求在这30天中第几天日交易额最大,最大值是多少?解:(1)由题中图象知,前20天满足的是递增的直线方程,且过两点(0,2),(20,6),易求得直线方程为P=t+2;从20天到30天满足递减的直线方程,且过两点(20,6),(30,5),求得方程为P=-t+8,故每股交易价格P(元)与时间t(元)所满足的函数关系式为P=(2)由题中图表,易知Q与t满足一次函数关系,即Q=-t+40,0t30,tN.(3)由(1)(2)可知y=即y=当0t20,t=15时,ymax=125,当20t30,y随t的增大而减小,y120,所以在30天中的第15天,日交易额最大,最大值为 125万 元.
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