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2018年河北省唐山市高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，求得集合，再根据交集的运算，即可得到答案.【详解】由题意，集合 ，又由，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中正确求解集合，再根据集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2.设A. 5 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算，化简求得z=55i，再由复数模的计算，即可求解.【详解】由题意，复数z=12i3+i=55i，所以z=52+(5)2=52，故选C.【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数模的求解，其中根据复数的运算法则，正确求解复数，再由模的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.命题“x0，lnx11x”的否定是A. x00，lnx11x0 B. x00，lnx0，lnx11x0 D. x00，lnx0，lnx1-1x”的否定是“x00，lnx00,b0的渐近线方程为y=7x，则E的离心率为A. 2 B. 2147 C. 22 D. 23【答案】C【解析】【分析】由双曲线的方程的渐近线方程y=7x，求得ba=7，再由离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=7x，即ba=7，所以双曲线的离心率为e=ca=a2+b2a2=1+(ba)2=22，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.cos105cos15=A. 22 B. 22 C. 62 D. 62【答案】D【解析】【分析】根据三角恒等变换的公式化简cos105cos15=2sin60，即可求解.【详解】由题意，可知cos105cos15=sin15cos15=(sin15+cos15)=2sin(45+15)=2sin60=62，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数恒等变换的公式，合理作出运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6.在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，则两个顶点间距离大于1的概率为A. 15 B. 25 C. 12 D. 35【答案】C【解析】【分析】在在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，共有10种不同的取法，又由正五边形共有5条对角线满足两个顶点间距离大于1，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，在在边长为1的正五边形的五个顶点中，任取两个顶点，共有10种不同的取法，又由正五边形共有5条对角线满足两个顶点间距离大于1，所以所求概率为p=510=12，故选C.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中根据题意得到基本事件的总数，利用古典概型及概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2AA1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为A. 105 B. 15 C. 55 D. 155【答案】B【解析】【分析】在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1D，可得A1D/B1C,得即DA1B为异面直线A1B与B1C所成的角，在A1BD中，利用余弦定理即可求解.【详解】在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1D，可得A1D/B1C,所以异面直线A1B与B1C所成的角，即为直线A1B与直线A1D所成的角，即DA1B为异面直线A1B与B1C所成的角，在长方体ABCDA1B1C1D1中，设AB=BC=2AA1=2，则A1B=A1D=5,BD=22，在A1BD中，由余弦定理得cosDA1B=A1B2+A1D2BD22A1BA1D=5+58255=15，故选B.【点睛】本题主要考查了空间中异面直线所成角的求解，其中根据异面直线所成角的定义，得到DA1B为异面直线A1B与B1C所成的角，在A1BD中利用余弦定理即可求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及计算能力，属于基础题.8.已知程序框图如右图所示则该程序框图的功能是A. 求1+13+15+17的值B. 求1+13+15+17+19的值C. 求113+15+17的值D. 求113+15+17+19的值【答案】C【解析】【分析】由题意，执行如图所示的程序框图，进行循环计算，即可得到计算的结果，得到答案.【详解】由题意，执行如图所示的程序框图可知：开始a=1,n=1,S=0 第一次循环：S=1,a=1,n=3；第二次循环：S=113,a=1,n=5；第三次循环：S=113+15,a=1,n=7；第四次循环：S=113+15+17,a=1,n=9，此时终止循环，输出结果，所以该程序框图是计算输出S=113+15+17的值，故选C.【点睛】利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用；赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.9.已知某几何体的三视图如图所示（俯视图中曲线为四二分之一圆弧），则该几何体的表面积为A. 14 B. 3+2 C. 2+4 D. 4【答案】D【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，代入柱体的表面公式，即可得到答案.【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，底面面积为1114=114，底面周长为1+1+12=2+12，柱体的高为1，所以该柱体的表面积为S=2(14)+(2+12)1=4.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应表面积与体积公式求解.10.设函数f(x)=x(ex+ex)，则f(x)A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上有极小值C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上有极大值【答案】A【解析】【分析】由函数奇偶性的定义，可得函数fx为奇函数，再由导数，得到f(x)0，判定函数在R上的增函数，即可得到答案.【详解】由题意，函数f(x)=x(ex+ex)，则f(x)=x(ex+ex)=fx，所以函数fx为奇函数，又由f(x)=ex+ex+x(exex)，当x0时，ex1,00且x(exex)0，即f(x)0，所以函数fx在0,+)为单调递增函数，又由函数fx为奇函数，所以函数fx为R上的增函数，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的判定，其中熟记函数奇偶性的定义，以及利用导数判定函数的单调性的方法，以及指数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.11.已知F1,F2为椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点，过原点O且倾斜角为30的直线与椭圆C的一个交点为A，若AF1AF2,SF1AF2=2，则椭圆C的方程为A. x26+y22=1 B. x28+y24=1 C. x28+y22=1 D. x220+y216=1【答案】A【解析】【分析】由题意，过原点O且倾斜角为30的直线与椭圆C的一个交点为A，可知OA=c，求得A(32c,12c),代入椭圆的方程，再由SF1AF2=2和c2=a2b2，即可求解a2,b2的值，得到椭圆的方程.【详解】由题意，过原点O且倾斜角为30的直线与椭圆C的一个交点为A，且AF1AF2，且SF1AF2=2，则可知OA=c，设A(x,y)，则x=ccos30=32c,y=csin30=12c，即A(32c,12c),代入椭圆的方程可得c24a2+c24b2=1 又由SF1AF2=2，则S=122c12c=12c2=2 ，解答c2=4，且c2=a2b2，解得a2=6,b2=2，所以椭圆的方程为x26+y22=1，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中根据题设条件，设出点A的坐标，代入椭圆的方程，以合理运用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12.已知函数f(x)=sinxsin3x,x0,2，则f(x)的所有零点之和等于A. 8 B. 7 C. 6 D. 5【答案】B【解析】【分析】根据函数的零点的定义，令f(x)=0，得sinxsin3x=0，根据三角恒等变换的公式，求解方程的根，即可得到所有的零点之和，得到答案.【详解】由已知函数f(x)=sinxsin3x,x0,2，令f(x)=0，即sinxsin3x=0，即sinx=sin3x=sinxcos2x+cosxsin2x=sinxcos2x+2sinxcos2x，即sinx(cos2x+2cos2x1)=0，解得sinx=0或cos2x+2cos2x1=0，当sinx=0,x0,2时，x=0或x=或x=2；当cos2x+2cos2x1=0时，即2cos2x+2cos2x2=0，解得cosx=22，又由x0,2，解得x=4或34或54或74，所以函数f(x)的所有零点之和为0+4+34+54+74+2=7，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点问题的综合应用，其中解答中熟记函数的零点的概念，以及熟练应用三角函数恒等变换的公式，求解方程的根是解得关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数f(x)=2x,x0x,x0，则f(f(2)=_.【答案】12【解析】【分析】由函数的解析式，代入求解，即可求得答案.【详解】由题意，函数f(x)=2x,x0x,x0，所以f(2)=22=14，则f(f(2)=f(14)=14=12.【点睛】本题主要考查了函数值的求解问题，其中解答中准确把握分段函数的分段条件，正确选择相应的对应关系计算求值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14.已知x，y满足x2y42x+y23xy3，则z=2xy的最大值为_.【答案】2【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，目标函数z=2xy，化为y=2xz，结合图象可知，直线y=2xz过点A时，目标函数取得最大值，即可求解.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数z=2xy，化为y=2xz，结合图象可知，直线y=2xz过点A时，目标函数取得最大值，由2x+y=23xy=3，解得A(1,0)，所以目标函数的最大值为z=210=2.【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最小值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想的应用.15.已知e1,e2的两个单位向量，且e1+e2=3，则e1e2=_.【答案】1【解析】【分析】由题意，向量e1,e2的两个单位向量，且e1+e2=3，求得两向量的夹角满足cos=12，再由模的计算公式和向量的数量积的公式，即可求解.【详解】由题意，向量e1,e2的两个单位向量，且e1+e2=3，则e1+e22=(e1+e2)2=e12+e22+2e1e2=1+1+211cos=3，所以cos=12，所以e1e2=(e1e2)2=e12+e222e1e2=1+121112=1.【点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决16.ABC的垂心H在其内部，A=60，AH=1，则BH+CH的取值范围是_.【答案】3,2【解析】【分析】在ABC中，设BAH=，且(0,600)，得处BH=2sin,CH=2sin(60)，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】在ABC为锐角三角形，设BAH=，且(0,600)，所以BH=2AHsin=2sin,CH=2AHsin(60)=2sin(60)，所以BH+CH=2sin+2sin(60)=2(sin+32cos12sin)=2sin(+60)，又由(0,600)，则+600(600,1200)，所以2sin(+60)(3,2，即BH+CH的取值范围是(3,2.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，其中解答中设BAH=，得到BH=2sin,CH=2sin(60)，利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列an是公差不为0的等差数列，a4=3，a2,a3,a5成等比数列.（1）求an；（2）设bn=n2an，数列bn的前n项和为Tn，求Tn.【答案】（1）an=n1；（2）Tn=(n1)2n+1【解析】【分析】（1）设数列an的首项为a1，公差为d，由a2,a3,a5成等比数列，列出方程，求得d=1，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）得bn=n2n-1，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.【详解】（1）设数列an的首项为a1，公差为d（d0），则ana1(n1)d因为a2，a3，a5成等比数列，所以(a12d)2(a1d)(a14d)，化简得，a1d0，又因为d0，所以a10，又因为a4a13d3，所以d1所以ann1（2）bnn2n1，Tn120221322n2n1， 则2Tn121222323n2n 得，Tn121222n1n2n，n2n (1n)2n1所以，Tn(n1)2n1【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，利用乘公比错位相减法，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，增大了难度，导致错解，试题能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.18.某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件，尺寸在223,228内（单位：mm）的零件为一等品，其余为二等品.在两种工艺生产的零件中，各随机抽取10个，其尺寸的茎叶图如图所示：（1）分别计算抽取的两种工艺生产的零件尺寸的平均数；（2）已知甲工艺每天可生产300个零件，乙工艺每天可生产280个零件，一等品利润为30元/个，二等品利润为20元/个.视频率为概率，试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高？【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据表中的数据，利用平均数的公式，即可求解甲乙的平均数；（2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为25，二等品的概率为35，即可求解甲工艺生产的利润，应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为12，即可求解乙工艺生产该零件每天取得的利润，比较即可得到结论.【详解】（1）甲 (217218222225226227228231233234)226.1；乙 (218219221224224225226228230232)224.7；（2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为，二等品的概率为，故采用甲工艺生产该零件每天取得的利润：w甲30030300207200元； 应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为，故采用乙工艺生产该零件每天取得的利润：w乙28030280207000元 因为w甲w乙，所以采用甲工艺生产该零件每天取得的利润更高【点睛】本题主要考查了统计知识的综合应用，其中解答中，认真审题，同时熟记数据平均数的计算公式和概率的应用求解甲乙两种公式一生产的利润是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19.在直角三角形ABC中，AB=BC=2，D为AC的中点，以BD为折痕将ABD折起，使点A到达点P的位置且PBCD.（1）求证：PDCD；（2）求A点到平面PBC的距离.【答案】（1）见解析；（2）263【解析】【分析】（1）在直角三角形中，求得BDCD，再由题意得PBCD，利用线面垂直判定定理，即可求解；（2）利用等价法，把点A到平面PBC转化为三棱锥的高，即可求解.【详解】（1）直角三角形ABC中，ABBC2，D为AC的中点，BDCD，又PBCD，BDPBB，CD平面PBD，又因为PD平面PBD，PDCD （2）ADBD，PDBD又PDCD，BDCDD，PD平面BCD 在直角三角形ABC中，ABBC2，所以PDAD，PBPCBC2SABC2，SPBC，设A点到平面PBC的距离为d，由VP-ABCVA-PBC得，SABCPDSPBCd，d即A点到平面PBC的距离为【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及点到平面的距离的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及利用等积法求解点到平面的距离是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及转化思想的应用.20.斜率为k的直线与抛物线x2=2y交于两点A,B，且AB的中点恰好在直线x=1上.（1）求k的值；（2）直线与圆x2+y2=12交于两点C,D，若AB=CD，求直线的方程.【答案】（1）1；（2）y=x+2【解析】【分析】（1）设直线的方程为y=kx+m，代入抛物线的方程，利用韦达定理得到x1+x2,x1x2，由AB的中点在x=1上，即可求解；（2）根据圆的弦长公式，分别求解AB,CD，利用AB=CD求得实数m的值，进而得到答案.【详解】（1）设直线l的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，x22kx2m0，D4k28m，x1x22k，x1x22m， 因为AB的中点在x1上，所以x1x22即2k2，所以k1 （2）O到直线l的距离d，|CD|2， 所以|AB|x1x2|2， 因为|AB|CD|,所以22，化简得m28m200，所以m10或m2 由得m2所以m2，直线l的方程为yx2【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.设fx=2(x1)lnx （1）求f(x)的最小值；（2）证明：f(x)x2-x+1x+2lnx.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意，求得fx，利用导数得到函数的单调性，进而求解函数的最小值；（2）由x2x+1x+2lnxfx=(x1)(x1x2lnx)，令gx=(x1)(x1x2lnx)，利用导数求得函数gx的单调性，求得函数的最小值，即可得到证明.【详解】（1）f(x)2(lnx1) 所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(，)时，f(x)0，f(x)单调递增所以x时，f(x)取得最小值f()1 （2）x2x2lnxf(x)x(x1)2(x1)lnx(x1)(x2lnx)， 令g(x)x2lnx，则g(x)10，所以g(x)在(0，)上单调递增，又因为g(1)0，所以当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0， 所以(x1)(x2lnx)0，即f(x)x2x2lnx【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22.在极坐标系中，曲线C方程为222sin+44=0.以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，直线：x=tcosy=tsin，（t为参数，00解集；（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由不等式，得，平方即可求解不等式的解集；（2）由已知可得，恒成立，设，利用函数的单调性，求得函数的最大值，即可求解.【详解】（1）由题意得|x1|2x1|, 所以|x1|2|2x1|2,整理可得x22x0，解得0x2，故原不等式的解集为x|0x2 （2）由已知可得，af(x)x恒成立，设g(x)f(x)x，则g(x)由g(x)的单调性可知，x时，g(x)取得最大值1，所以a的取值范围是1，）.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
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