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第二章 第13节 导数的综合应用 第三课时1(导学号14577238)(理科)(2018济南市一模)已知函数f(x)exaxa(aR且a0)(1)若函数f(x)在x0处取得极值，求实数a的值；并求此时f(x)在2,1上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围解：(1)函数的定义域为R，f(x)exa，由函数f(x)在x0处取得极值，则f(0)1a0，解得a1，即有f(x)exx1，f(x)ex1，当x0时，有f(x)0，f(x)递减，当x0时，有f(x)0，f(x)递增则x0处f(x)取得极小值，也为最小值，且为2，又f(2)e23，f(1)e，f(2)f(1)，即有f(2)为最大值e23；(2)函数f(x)不存在零点，即为exaxa0无实数解，由于x1时，e00显然不成立，即有aR且a0.若x1，即有a，令g(x)，则g(x)，当x2时，g(x)0，g(x)递增，当x1和1x2时，g(x)0，g(x)递减即有x2处g(x)取得极小值，为e2，在x1时，g(x)0，则有0ae2，解得e2a0，则实数a的取值范围为(e2,0)1(导学号14577239)(文科)(2018南平市质检)已知函数f(x)exx.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)已知t为实数，求函数f(x)在区间t，t2上的最小值；(3)定义在区间D上的函数g(x)，若存在区间a，bD及实常数m，当xa，b时，g(x)的取值范围恰为am，bm，则称区间a，b为g(x)的一个同步偏移区间，m为同步偏移量试问函数yf(x)x(x21)在(1，)上是否存在同步偏移区间？若存在，请求出一个同步偏移区间及对应的偏移量；若不存在，请说明理由解：(1)由题意知f(1)e1, f(x)ex1.函数f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率ke1，切线方程为y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x.(2)令f(x)ex10得x0.当t0时，在t，t2上f(x)0，f(x)单调递增，fmin(x)f(t)ett.当2t1时，g(x)0 ，g(x)为增函数，即方程(x21)exxm有两个大于1的相异实根设(x)(x21)exxm(x1)，则(x)(x22x1)ex1.x1，(x)0，(x)在(1，)上单调递增. (x)在区间(1，)上至多有一个零点与方程(x21)exxm有两个大于1的相异实根矛盾，假设不成立，即g(x)在(1，)上不存在同步偏移区间2(导学号14577240)(理科)(2018濮阳市一模)设函数f(x)aln xbx2.(1)当b1时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当a1，b0时，函数g(x)f(x)kx，k为常数，若函数g(x)有两个相异零点x1，x2，证明：x1x2e2.解：(1)b1时，f(x)aln xx2，定义域是(0，)，f(x)(x0)，a0时，a2x20，f(x)0，f(x)在(0，)递减a0时，f(x)，(x0)，x时，f(x)0，x时，f(x)0，故f(x)在递减，在递增(2)证明：a1，b0时，g(x)f(x)kxln xkx，由g(x)0，得ln xkx，设x1x2，又ln x1kx10，ln x2kx20，ln x1ln x2k(x1x2)，ln x1ln x2k(x1x2)，k.要证明x1x2e2，只需证明ln x1ln x22，即证明k(x1x2)2，即证明k，即证明，即证明ln .设t，则t1.设h(t)ln t，(t1)，则h(t)0，函数h(t)在(1，)递增h(1)0，h(t)h(1)0，ln t，x1x2e2.3(导学号14577241)(文科)(2018菏泽市一模)设函数f(x)ln xax2bx.(1)当ab时，求函数f(x)的单调区间；(2)令F(x)f(x)ax2bx(0x3)，其图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围。(3)当a0，b1时，方程f(x)mx在区间1，e2内有唯一实数解，求实数m的取值范围。解：(1)依题意，知f(x)的定义域为(0，)，当ab时，f(x)ln xx2x，f(x)x.令f(x)0，解得x1或x2(舍去)，当0x0；当x1时，f(x)0，所以m1，要使方程f(x)mx在区间1，e2上有唯一实数解，只需m1有唯一实数解， 令g(x)1(x0)，g(x)，由g(x)0得0xe；g(x)e，g(x)在区间1，e上是增函数，在区间e，e2上是减函数g(1)1，g(e2)1，g(e)1，故1m1时，解得x1，x2.f(x)在(，x1)和(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，但是函数值恒大于零，极大值f(x1)，极小值f(x2)，并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当x时，f(x)，当x时，f(x)0.因此当f(x2)mf(x1)时，关于x的方程f(x)m一定总有三个实数根，结论成立；当01.由f(x)0，得x或x1.当x(0,1)，x时，f(x)单调递减f(x)的单调递减区间为(0,1)，；当a1时，恒有f(x)0，f(x)单调递减f(x)的单调递减区间为(0，)；当a(1，)时，1.由f(x)0，得x1或xh ，k的取值范围为.
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