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2.3.2双曲线的几何性质学习目标1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.知识点一双曲线的几何性质思考类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线1(a0，b0)的哪些几何性质？答案范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.梳理标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)知识点二双曲线的离心率思考在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？答案双曲线1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设e，则.当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大.梳理定义：双曲线的焦距与实轴长的比e，叫做双曲线的离心率.性质：离心率e的取值范围是(1，).e越大，双曲线的张口越大.知识点三双曲线的相关概念实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程是yx，离心率为.1.等轴双曲线的离心率是1.()2.椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.()3.双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.()4.方程1(a0，b0)的渐近线方程为yx.()类型一已知双曲线的标准方程研究几何性质例1求双曲线x23y2120的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.考点双曲线的几何性质题点由双曲线的方程研究几何性质解将方程x23y2120化为标准方程为1，a24，b212，a2，b2，c4，双曲线的实轴长为2a4，虚轴长为2b4；焦点坐标为F1(0，4)，F2(0,4)；顶点坐标为A1(0，2)，A2(0,2)；渐近线方程为yx；离心率e2.反思与感悟已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的要先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2a2b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.考点双曲线的几何性质题点由双曲线的方程研究几何性质解将9y24x236变形为1，即1，a3，b2，c，因此顶点坐标为(3,0)，(3,0)；焦点坐标为(，0)，(，0)；实轴长是2a6，虚轴长是2b4；离心率e；渐近线方程为yxx.类型二由双曲线的几何性质确定标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx；(3)求与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程.考点双曲线性质的应用题点由双曲线的几何性质求方程解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0).由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8，双曲线的标准方程为1或1.(2)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0).当0时，a24，2a26；当0时，a29，2a261.双曲线的标准方程为1或1.(3)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2(0).将点(2，2)代入双曲线方程，得(2)22，双曲线的标准方程为1.反思与感悟(1)求双曲线的标准方程的步骤：确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；设双曲线的标准方程；根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；求出a，b，写出方程.(2)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b20)，则c210k，b2c2a2k.设所求双曲线方程为1，或1.将(3,9)代入，得k161，与k0矛盾，无解；将(3,9)代入，得k9.故所求双曲线的标准方程为1.(3)方法一双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.联立，无解.若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.联立，解得a28，b232.故所求双曲线的标准方程为1.方法二由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0).A(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.故所求双曲线的标准方程为1.类型三求双曲线的离心率例3分别求适合下列条件的双曲线的离心率：(1)双曲线的渐近线方程为yx；(2)双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c.考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率解(1)若焦点在x轴上，则，e；若焦点在y轴上，则，即，e.综上可知，双曲线的离心率为或.(2)依题意得直线l：bxayab0.由原点到l的距离为c，得c，即abc2，16a2b23(a2b2)2，即3b410a2b23a40，321030.解得或3.又0ab，3，e2.反思与感悟求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2a2b2，直接求a，c的值.而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值.同时也要注意问题中条件对离心率的限制，以保证问题结果的准确性.跟踪训练3(1)若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为_.考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率答案或解析若焦点在x轴上，则，e；若焦点在y轴上，则，即，e.综上可知，双曲线的离心率为或.(2)已知双曲线1的右焦点坐标为(3,0)，则该双曲线的离心率e_.考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率答案解析因为双曲线的右焦点坐标为(3,0)，所以c3，b25，则a2c2b2954，所以a2，所以e.1.双曲线的一个顶点坐标为(1,0)，一条渐近线方程为y2x，则双曲线方程为_.考点双曲线性质的应用题点由双曲线的几何性质求方程答案x21解析由题意知a1，又2，b2，双曲线方程为x21.2.设双曲线1的渐近线方程为3x2y0，则a_.考点双曲线性质的应用题点以离心率或渐近线为条件的简单问题答案4解析方程表示双曲线，a0，b0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程.反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2，再结合其他条件求得就可得双曲线方程.2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.一、填空题1.若双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值为_.考点双曲线的几何性质题点由双曲线的方程研究几何性质答案解析双曲线的标准方程为y21，a21，b2.由题意得b24a2，4，m.2.双曲线1的焦点到渐近线的距离为_.考点双曲线的几何性质题点由双曲线的方程研究几何性质答案2解析双曲线1的一个焦点坐标为F(4,0)，其中一条渐近线方程为yx，点F(4,0)到xy0的距离为2.3.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程是_.考点双曲线性质的应用题点由双曲线的几何性质求方程答案1解析由题意得2a2b2c，即abc，又因为a2，所以bc2，所以c2a2b24b24(c2)2，即c24c80，所以c2，b2，所求的双曲线的标准方程是1.4.已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为_.考点双曲线性质的应用题点由双曲线的几何性质求方程答案1解析双曲线的右顶点为(a,0)，一条渐近线为xy0，1，a2.又，b，双曲线的方程为1.5.若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为_.考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率答案解析双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(3，4)，3b4a，9(c2a2)16a2，e.6.已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为_.考点双曲线性质的应用题点以离心率或渐近线为条件的简单问题答案90解析由，得2.又c2a2b2，a2b2，即ab，双曲线的两条渐近线的夹角为90.7.与双曲线x21有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是_.考点双曲线性质的应用题点由双曲线的几何性质求方程答案1解析设所求双曲线的标准方程为x2.将点(2,2)代入，可得3，双曲线的标准方程为1.8.F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点.若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为_.考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率答案解析如图，由双曲线定义得，BF1BF2AF2AF12a，因为ABF2是正三角形，所以BF2AF2AB，因此AF12a，AF24a，且F1AF2120，在F1AF2中，4c24a216a222a4a28a2，所以e.9.已知双曲线1的右顶点为A，右焦点为F.过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_.考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线位置关系答案解析由题意求出双曲线中a3，b4，c5，则双曲线渐近线方程为yx，不妨设直线BF斜率为，可求出直线BF的方程为4x3y200，(*)将(*)式代入双曲线方程解得yB，则SAFBAF|yB|(ca).10.若在双曲线1(a0，b0)的右支上到原点O和右焦点F距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围为_.考点双曲线的几何性质题点求双曲线离心率的取值范围答案(2，)解析由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为x.依题意，在双曲线1(a0，b0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x与右支有两个交点，故应满足a，即2，得e2.二、解答题11.已知双曲线的一条渐近线方程为xy0，且与椭圆x24y264有相同的焦距，求双曲线的标准方程.考点双曲线性质的应用题点由双曲线的几何性质求方程解由椭圆方程为1，可知椭圆的焦距为8.当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，解得双曲线的标准方程为1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，解得双曲线的标准方程为1.由可知，双曲线的标准方程为1或1.12.点P是双曲线1(a0，b0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1PF2，若F1PF2的面积是9，求ab的值.考点双曲线性质的应用题点以离心率或渐近线为条件的简单问题解设PF1m，PF2n，则|mn|2a，又因为PF1PF2，所以m2n24c2，2得2mn4a24c2，所以mn2a22c2.又因为F1PF2的面积是9，所以mn9，所以c2a29.又因为双曲线的离心率e，所以c5，a4，所以b3，所以ab7.13.设双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且点(1,0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和sc，求双曲线的离心率e的取值范围.考点双曲线的几何性质题点求双曲线离心率的取值范围解直线l过(a,0)，(0，b)两点，得到直线方程为bxayab0.由点到直线的距离公式，且a1，得点(1,0)到直线l的距离为d1，同理得到点(1,0)到直线l的距离为d2，由sc得到c.(*)将b2c2a2代入(*)式的平方，整理得4c425a2c225a40，两边同除以a4后，令x，得到4x225x250，解得x5，又e，故e.即e的取值范围为.三、探究与拓展14.F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足|3|，则此双曲线的渐近线方程为_.考点双曲线的几何性质题点由双曲线的方程研究几何性质答案yx解析由双曲线的性质可得|b，则|3b.在MF1O中，|a，|c，cosF1OM，由余弦定理可知，又c2a2b2，所以a22b2，即，故此双曲线的渐近线方程为yx.15.设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A，B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值.考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系解(1)将yx1代入双曲线y21中，得(1a2)x22a2x2a20，(*)所以解得0a且e.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).因为P为直线与y轴的交点，所以P(0,1).因为，所以(x1，y11)(x2，y21).由此得x1x2.由于x1，x2是方程(*)的两根，且1a20，所以x2，x.消去x2，得.由a0，解得a.
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