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阶段质量检测（二）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1观察一列算式：11,12,21,13,22,31,14,23,32,41，则式子35是第()A22项B23项C24项 D25项解析：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，35为和为8的第3项，所以为第24项答案：C2用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是()A假设是有理数B假设是有理数C假设或是有理数 D假设是有理数解析：应对结论进行否定，则不是无理数，即是有理数答案：D3已知ABC中，A30，B60，求证：ab.证明：A30，B60，AB，ab，画线部分是演绎推理的()A大前提B小前提C结论 D三段论解析：由题意知，该推理中的大前提为：三角形中大角对大边；小前提为：AB；结论为a0，b0，则以下不等式中不恒成立的是()A(ab)4 Ba3b32ab2Ca2b222a2b D.解析：a0，b0，对于A，(ab)224，故A恒成立；对于B，a3b32ab2，取a，b，则B不成立；对于C，a2b22(2a2b)(a1)2(b1)20，故C恒成立；对于D，若a0，显然b成立答案：B5观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则 a10b10()A28 B76C123 D199解析：记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.答案：C6观察下列各式：7249,73343,742 401，则72 015的末两位数字为()A01 B43C07 D49解析：7516 807,76117 649,77823 543，785 764 801，7n(nZ，且n5)的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记7n(nZ，且n5)的末两位数为f(n)，则f(2 015)f(50343)f(3)，72 015与73的末两位数相同，均为43.答案：B7将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：abba；(ab)ca(bc)；a(bc)abac；由abac(a0)可得bc.以上通过类比得到的结论正确的有()A1个 B2个C3个 D4个解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故正确， 错误；由abac(a0)得a(bc)0，从而bc0或a(bc)，故错误答案：B8已知a0，不等式x2，x3，x4，可推广为xn1，则a的值为()An2 BnnC2n D22n2解析：由x2，xx3，xx4，可推广为xn1，故ann.答案：B9来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译针对他们懂的语言，正确的推理是()A甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：分析题目和选项，由知，丁不会说日语，排除B选项；由知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，故选A.答案：A10如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点该青蛙从5这点跳起，经2 018次跳后它将停在的点是()A1 B2C3 D4解析：青蛙第一次跳后停留在1点，第二次跳后停在2点，第三次跳后停在4点，第四次跳后又停在1点，以此类推，循环下去2 01836722，2 018次跳后将停在2点答案：B11设ABC的三边长分别为a，b，c，ABC的面积为S，则ABC的内切圆半径为r.将此结论类比到空间四面体：设四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r()A. B.C. D.解析：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为V(S1S2S3S4)r，r.答案：C12下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的第n行有n个数且两端的数均为(n2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 ，则第10行第4个数(从左往右数)为()A. B.C. D.解析：依题意，结合所给的数阵，归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于，第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于，第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于，.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)13在ABC中，D为BC的中点，则()，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为_答案：在三棱锥ABCD中，G为BCD的重心，则()14用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒_根解析：由图形的变化规律可以看出，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，第一个图形为8根，可以写成a1862.又a214622，a320632，所以可以猜测，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n2.答案：6n215观察下列式子：1,121,12321,1234321，由以上可推测出一个一般性结论：对于nN，12n21_.解析：112,12122,1232132,123432142，归纳可得12n21n2.答案：n216如图，圆环可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S(R2r2)(Rr)2.所以圆环的面积等于以线段ABRr为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2为长的矩形面积请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：在平面直角坐标系xOy中，若将平面区域M(x，y)|(xd)2y2r2(其中0r3，nN)边形对角线的条数f(n)，并证明所得结论解：由题意得当n4时，f(4)2；当n5时，f(5)5；当n6时，f(6)9；，由此猜测f(n)，即凸n(n3，nN)边形有条不同的对角线证明：因为凸n(n3，nN)边形中从每一个顶点出发的对角线有(n3)条，所以从所有的顶点出发的对角线有n(n3)又每条对角线都被数了两次，所以凸n(n3，nN)边形的对角线的条数为.18(本小题满分12分)ABC的三条高分别为ha，hb，hc，r为内切圆半径，且hahbhc9r，求证：该三角形为等边三角形证明：设三角形三边分别为a，b，c，故只需证abc.因为ha，hb，hc，其中S为ABC的面积，所以hahbhc2S.又因为S(abc)r，hahbhc9r，所以(abc)9.所以a2ba2cb2ab2cc2ac2b6abc0.将上式分解因式，得a(bc)2b(ca)2c(ab)20.因为a0，b0，c0，所以(bc)2(ca)2(ab)20.所以abc.该三角形为等边三角形19(本小题满分12分)如图所示，设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直证明：假设AC平面SOB，因为直线SO在平面SOB内所以SOAC.因为SO底面圆O，所以SOAB.因为ABACA，所以SO平面SAB.所以平面SAB底面圆O，这显然与平面SAB与底面圆O相交矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直20(本小题满分12分)数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN)，试利用三段论形式证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明：(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.故2，(小前提)故是以2为公比，1为首项的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)21(本小题满分12分)已知数列an中，Sn为其前n项和且Sn14an2(nN)，a11，(1)设bnan12an(nN)，求证：数列bn是等比数列；(2)设cn(nN)，求证：数列cn是等差数列证明：(1) Sn14an2，Sn24an12，两式相减，得Sn2Sn14an14an(nN)即an24an14an.变形得an22an12(an12an)bnan12an(nN)，bn12bn.a11，Sn14an2，S24a126，即a25.b1a22a1523.bn32n1.由此可知，数列bn是以3为首项，公比为2的等比数列(2)cn(nN)，cn1cn，将bn32n1代入，得cn1cn(nN)又c1，由此可知，数列cn是首项为，公差为的等差数列22(本小题满分12分)十字绣有着悠久的历史，如下图，为十字绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图案包含f(n)个小正方形(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求(n2)的值解：(1)按所给图案的规律画出第五个图如下：由图可得f(5)41.(2)可得f(2)f(1)41；f(3)f(2)842；f(4)f(3)1243；f(5)f(4)1644；由上式规律，可得f(n)f(n1)4(n1)由以上各式相加可得f(n)f(1)412(n1)42n22n，又f(1)1，f(n)2n22n1.(3)当n2时，原式111.
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