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模块复习课核心知识回顾一、常用逻辑用语1命题及其关系(1)原命题：若p，则q.则逆命题：若q，则p.否命题：若p，则q.逆否命题：若q，则p.(2)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性2充分条件与必要条件(1)若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)若pq，则p是q的充要条件(3)若pq，qp，则p是q的充分不必要条件(4)若pq，qp，则p是q的必要不充分条件(5)若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件3简单的逻辑联结词(1)命题pq的真假：“全真则真”，“一假则假”(2)命题pq的真假：“一真则真”，“全假则假”(3)命题p的真假：p与p的真假性相反4全称命题与特称命题的否定(1)全称命题的否定p：xM，p(x)p：x0M，p(x0)(2)特称命题的否定p：x0M，p(x0)p：xM，p(x)二、圆锥曲线与方程1椭圆(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(2)椭圆的标准方程焦点在x轴上：1(ab0)，焦点在y轴上：1(ab0)(3)椭圆的几何性质范围：对于椭圆1(ab0)，axa，byb.对称性：椭圆1或1(ab0)，关于x轴，y轴及原点对称顶点：椭圆1的顶点坐标为A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)离心率：e，离心率的范围是e(0,1)a，b，c的关系：a2b2c2.2双曲线(1)双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，叫做双曲线(2)双曲线的标准方程焦点在x轴上：1(a0，b0)，焦点在y轴上：1(a0，b0)；(3)双曲线的几何性质范围：对于双曲线1(a0，b0)，ya或ya，xR，对称性：双曲线1或1(a0，b0)关于x轴，y轴及原点对称顶点：双曲线1(a0，b0)的顶点坐标为A1(a,0)，A2(a,0)，双曲线1(a0，b0)的顶点坐标为A1(0，a)，A2(0，a)，渐近线：双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.离心率：e，双曲线离心率的取值范围是e(1，)，a，b，c的关系：c2a2b2.3抛物线(1)抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线(2)抛物线的标准方程焦点在x轴上：y22px(p0)，焦点在y轴上：x22py(p0)(3)抛物线的几何性质范围：对于抛物线x22py(p0)，xR，y0，)对称性：抛物线y22px(p0)，关于x轴对称，抛物线x22py(p0)，关于y轴对称顶点：抛物线y22px和x22py(p0)的顶点坐标为(0,0)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义知e1.三、空间向量与立体几何1空间向量及其运算(1)共线向量定理：abab(b0)(2)P，A，B三点共线xy(xy1)(3)共面向量定理：p与a，b共面pxayb(4)P，A，B，C四点共面xyz(xyz1)，(5)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，把a，b，c叫做空间的一个基底(6)空间向量运算的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3，ababa1b1，a2b2，a3b3，abab0a1b1a2b2a3b30，|a|，cosa，b，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)，|.2立体几何中的向量方法(1)异面直线所成的角两条异面直线所成的角为，两条异面直线的方向向量分别为a，b，则cos |cosa，b|，(2)直线与平面所成的角直线与平面所成的角为，直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin |cosa，n|(3)二面角二面角为，n1，n2为两平面的法向量，则|cos |cosn1，n2|易错易混辨析1一个命题的逆命题和否命题有相同的真假性()提示一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，因此具有相同的真假性2使ab成立的充分不必要条件是ab1.()提示ab1ab.3“pq”的否定为“(p)(q)”，“pq”的否定为“(p)(q)”() 提示“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”4命题p：x(0，)，则x22x10，则p为：x0(，0，使x2x010.()提示p应为x0(0，)，使x2x010.5命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是“若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数”()提示命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是“若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数”6命题“菱形的两条对角线相等”是全称命题且是真命题()提示此命题是全称命题，但是是假命题7“x6”是“x1”的充分但不必要条件()提示x6x1，但x1x6.8若命题pq为假，且p为假，则q假()提示由p为真，pq为假知，q为假9椭圆上的点到焦点的最大距离为ac，最小距离为aC()提示椭圆长轴的端点到焦点的距离有最大值或最小值10已知F1(4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆()提示|F1F2|8，故点的轨迹是线段F1F2.11椭圆2x23y212的焦点坐标为(0，)()提示椭圆标准方程为1，c2a2b22，故椭圆的焦点坐标为(，0)12已知椭圆的标准方程为1(m0)，焦距为6，则实数m的值为4. ()提示当焦点在x轴上时，由25m29得m4，当焦点在y轴上时，m2259得m.13已知F1(5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|PF2|10，则点P的轨迹是双曲线的右支()提示点P的轨迹是一条射线14“0k3”是方程1表示双曲线的充要条件()提示当0k3时，方程1表示双曲线，若方程1表示双曲线，则有(k1)(k5)0，即1k0)中过焦点的最短弦长为2p.()提示抛物线中通径是最短的弦长20抛物线yax2(a0)的准线方程为y2，则实数a的值是.()提示抛物线标准方程为x2y，则2，解得a.21若空间任一点O和不共线的三点A，B，C满足，则点P与A，B，C共面()提示11，故四点共面22a，b为空间向量，则cosa，bcosb，a()提示a，bb，a，则cosa，bcosb，a23两个平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直()提示由平面法向量的定义可知24直线与平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量垂直()提示直线的方向向量与平面的法向量平行25若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足k1e1k2e2k3e30，则k1k2k30.()提示假设k10，则e1e2e3，则e1，e2，e3共面26若直线的方向向量与平面的法向量所成的角为150，则直线与平面所成的角为30.()提示直线与平面所成的角为60.27若直线与平面所成的角为0，则直线在平面内()提示直线与平面也可能平行28两个平面的法向量所成的角为120，则两个平面所成的二面角也是120.()提示二面角的度数是120或60.29两条异面直线所成的角为30，则两条直线的方向向量所成的角可能是150.()提示根据向量所成角的定义知正确30若二面角是30，则在二面角的两个半平面内与二面角的棱垂直的直线的方向向量所成的角也是30.()提示在二面角的两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量所成的角是30或150.高考真题感悟1已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A1B1C1 D1B由yx可得.由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程为1.故选B2已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为() 【导学号：46342195】A BC DA由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e.故选A3若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为()A2 BC DA设双曲线的一条渐近线方程为yx，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为.根据点到直线的距离公式得，解得b23a2.所以C的离心率e2.故选A4已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A BC DC方法1：将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD图由题意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos 603，所以BD，所以B1D1.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角，所以cos .故选C方法2：以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(1，1)，则(1,0，1)，(1，1)所以cos，.所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为.故选C5已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16B14C12D10A因为F为y24x的焦点，所以F(1,0)由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，故直线l1，l2的方程分别为yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2|.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)48484216，当且仅当k2，即k1时，取得等号故选A6如图1，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点图1(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值. 【导学号：46342196】解(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD由BADABC90得BCAD，又BCAD，所以EFBC，四边形BCEF是平行四边形，CEBF.又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB(2)由已知得BAAD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)设M(x，y，z)(0x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0，解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1)8设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 【导学号：46342197】解(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
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