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第13讲抽象函数1(2017年江西南昌二模)已知函数f(x)sin xx，则不等式f(x2)f(12x)0的解集是()A. B.C(3，) D(，3)2下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x3 Bf(x)3xCf(x)x Df(x)x3已知函数f(x)满足：f(1)2，f(x1)，则f(2015)()A2 B3 C D.4给出下列三个等式：f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)，f(xy).下列函数中，不满足其中任何一个等式的是()Af(x)3x Bf(x)sin xCf(x)log2x Df(x)tan x5已知奇函数yf(x)的导函数f(x)0在R上恒成立，且x，y满足不等式f(x22x)f(y22y)0，则x2y2的取值范围是()A0,2 B0,2 C1,2 D0,86定义在R上的函数yf(x)满足f(3x)f(x)，f(x)0，若x13，则()Af(x1)f(x2) Bf(x1)1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)0.(1)若ab，比较f(a)与f(b)的大小；(2)解不等式ff；(3)记Px|yf(xc)，Qx|yf(xc2)，且PQ，求c的取值范围第13讲抽象函数1D解析：函数f(x)是定义在R上的奇函数，且导函数是f(x)cos x10，所以f(x)sin xx是减函数，不等式f(x2)f(12x)0f(x2)2x1x3.故选D.2B解析：由f(xy)(xy)3，f(x)f(y)x3y3(xy)3，得f(xy)f(x)f(y)，所以A错误；由f(xy)3xy，f(x)f(y)3x3y3xy，得f(xy)f(x)f(y)又函数f(x)3x是定义在R上的增函数故选B.3C解析：方法一，由条件知，f(2)3，f(3)，f(4)，f(5)f(1)2，故f(x4)f(x)(xN*)f(x)的周期为4，故f(2015)f(3).方法二，严格推证如下：f(x2)，f(x4)f(x2)2f(x)，即f(x)的周期为4.故f(4kx)f(x)(kN*)，即f(2015)f(3).4B解析：选项A，函数满足f(xy)f(x)f(y)；选项C，函数满足f(xy)f(x)f(y)；选项D，函数满足f(xy).5D解析：因为函数yf(x)为奇函数，所以f(x22x)f(2yy2)由函数yf(x)的导函数f(x)0在R上恒成立，知函数yf(x)在R上为减函数，所以x22x2yy2，即(x1)2(y1)22.故的最小值为0，最大值为直径2 .从而x2y2的最小值为0，最大值为直径的平方8.6A解析：由f(3x)f(x)知函数yf(x)的图象关于直线x对称因为f(x)0，所以当x0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f(x)单调递减因为x13，即，所以可知x1距离对称轴x较近故选A.72解析：设h(x)f(x1)x2.由h(x)f(x1)x2为奇函数，得h(x)h(x)，即f(x1)x2f(x1)x2，所以f(x1)f(x1)2x2.由g(x)1f(x1)，得g(3)1f(2)1f(11)2121f(0)2，又f(0)1，所以g(3)2.8.解析：f(x)x32xexf(x)，所以函数f(x)是奇函数因为f(x)3x22exex3x2223x20，所以函数f(x)是增函数又f(a1)f(2a2)0，即f(a1)f(2a2)f(2a2)所以a12a2,2a2a10.解得1a.9解：(1)令x1x20，代入，得f(1)f(x1)f(x1)0.故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1.由于当x1时，f(x)0，f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)0时，由f(|x|)2，得f(x)9；当x0时，由f(|x|)2，得f(x)9，即x9，或x910解：设1x10.x1x20，f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)又f(x)是奇函数，f(x2)f(x2)f(x1)b，f(a)f(b)(2)由ff，得x.不等式的解集为.(3)由1xc1，得1cx1c.Px|1cx1c由1xc21，得1c2x1c2.Qx|1c2x1c2PQ，1c1c2.解得c2，或c1.c的取值范围是(，1)(2，)
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