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辽宁省实验中学2017-2018学年度下学期期中阶段测试高二理科数学科试卷考试时间：120分钟 满分：150分第卷(选择题 共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的是（）若，则是函数的极值.若是函数的极值，则在处有导数.函数至多有一个极大值和一个极小值.定义在上的可导函数，若方程无实数解，则无极值.2.用反证法证明命题“，如果可被整除，那么，至少有个能被整除”则假设的内容是（），都能被整除 ，都不能被整除不能被整除 ，有1个不能被整除3.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（） 4.下列计算错误的是（） 5.如右图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有() A400种B460种C480种D496种6.已知两条曲线与在点处的切线平行，则的值为（）0 或 0或17.定义的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中，可能是下列（）的运算的结果（ ） ， ， ，8.函数的图象关于原点对称，则在上（）单调递增 单调递减单调递增，单调递减 单调递减，单调递增9.某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，不同选课方案共有（ ）A84种 B168种 C42种 D336种10.在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比某公式如：设a，b是非零实数，且满足tan，则() A4 B C2 D11.定义在R上的奇函数满足，且不等式在上恒成立，则函数的零点个数为（ ）A.5 B.3 C.4 D.212.已知函数的图象在点处的切线方程为，若函数满足（其中为函数的定义域），当时，恒成立，则称为函数的“分界点”已知函数满足，则函数的“分界点”的个数为（ ）A个 B个 C个 D无数个第卷(非选择题 满分90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题纸相应位置上。13.由与直线所围成图形的面积为 14.已知函数（0）若对任意两个不相等的正实数、都有2恒成立，则的取值范围是 . 15.若一个五位数abcde满足ab，bcd，de且ad，be（如37201,45412）则称这个五位数符合正弦规律，那么符合正弦规律的五位自然数有 个.16.已知为自然对数的底数，若函数满足, ,使成立,则正整数的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. (本小题满分10分)若不等式对所有的都成立，求实数的取值范围.18. (本小题满分12分)在数列中，且前项的算术平均数等于第项的倍（）（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想的通项公式，并加以证明19. (本小题满分12分)如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底盒子. （1）问切去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积是多少？（2）上述做法，材料有所浪费，如果可以对材料进行切割、焊接，请你重新设计一个方案，使材料浪费更少，且所得无盖的盒子的容积20. （本小题满分12分）已知函数讨论函数的单调性21.(本小题满分12分)已知，函数，若.证明：.22.（本小题满分12分）已知函数（）当时，求函数在点处的切线方程；（）设，若函数在定义域内存在两个零点.求实数的取值范围。辽宁省实验中学2017-2018学年度下学期期中阶段测试高二理科数学科试卷参考答案：选择：，13-16：9，2892，5 17.解：注：其他方法酌情给分 10分18.解：（1）由已知，分别取，得，所以数列的前5项是：， 4分（2）由（1）中的分析可以猜想下面用数学归纳法证明：当时，公式显然成立假设当时成立，即，那么由已知，得，即，所以，即，又由归纳假设，得，所以，即当时，公式也成立由和知，对一切，都有成立12分19.解：（1）设切去的正方形边长为，则焊接成的盒子的底面边长为42，高为.所以=(42)2=4(4+4),(02) 5分=4(38+4). 5分令=0得x1= ,x2=2（舍去）而=12()(2)又当0,当2时，故此方案符合要求。12分20.解：函数的定义域为(0，)，且f(x)，当m0时，f(x)0在x(0，)时恒成立，f(x)在(0，)上单调递增 2分当m0时，m1，f(x)0在x(0，)时恒成立，f(x)在(0，)上递减，5分当1m0时，由f(x)0得x1，x2，且0x1x2，x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)减增减所以f(x)在和，上单调递减，f(x)在上单调递增9分综上所述：（1）m0时， f(x)在(0，)上单调递增（2）1m0时，f(x)在和，上单调递减，f(x)在上单调递增（3）m1， f(x)在(0，)上单调递减12分21.证明：f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax(2a).4分若a0，则由f(x)0得x，且当x时，f(x)0，当x时，f(x)0.所以f(x)在单调增加，在单调减少设g(x)ff，则g(x)ln(1ax)ln(1ax)2ax，g(x)2a.当0x时，g(x)0，而g(0)0，所以g(x)0.故当0x时，ff.8分不妨设A(x1，0)，B(x2，0)，0x1x2，则0x1f(x1)0.从而x2x1，于是x0.故，f(x0)0. 12分22.解：（）的定义域为, 所以函数在点处的切线方程为3分（）在定义域内存在两个零点，即在有两个零点。令.当时，在上单调递增由零点存在定理，在至多一个零点，与题设发生矛盾。.当时，则+0 单调递增极大值单调递减因为，当，所以要使在内有两个零点，则即可，得，又因为，所以综上：实数的取值范围为.12分
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