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第03节 函数的奇偶性与周期性班级_ 姓名_ 学号_ 得分_一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【2018届北京市西城区44中12月月考】已知是定义在上的奇函数，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】是定义在上的奇函数，解得，且，选2.【2018届宁夏回族自治区银川一中考前训练】已知函数是奇函数，且，则（ ）A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D【解析】分析：先根据奇函数性质得，再求.详解：因为函数是奇函数，所以所以因此，选D.3【2017届浙江省嘉兴一中适应性测试】已知函数， ，则的图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由为偶函数，排除，当时， ，排除C4.【2018届江西省临川一中模拟】已知，则的图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据函数的奇偶性和函数值即可判断详解：f（x）= =f（x），f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除B，D当x=时，f（）=10，故排除C，故选：A5. 已知是上的奇函数，对都有成立，若，则等于（）A2 B2 C1 D2013【答案】A6【2018届福建省莆田市第二次检测】设函数满足，且是上的增函数，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先根据题中条件，确定出函数图像的特征：关于直线对称；下一步利用幂函数以及指数函数的单调性，比较得出，下一步应用是上的增函数，得到函数是的减函数，从而利用自变量的大小可出函数值的大小.详解：根据，可得函数的图像关于直线对称，结合是上的增函数，可得函数是的减函数，利用幂函数和指数函数的单调性，可以确定，所以，即，故选A.7.【2018届福建省莆田第九中学高考模拟】定义在上的偶函数在单调递增，且，则的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由义在上的偶函数在单调递增，且,可得，即为，可得，运用绝对值不等式的解法可得的取值范围.8【2018届四川省成都市模拟（一）】已知偶函数在单调递增，若,则满足的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意结合函数的性质脱去 符号，求解绝对值不等式即可求得最终结果详解：由题偶函数在单调递增，若,则，即 解得或.故选B.9【2018届安徽省示范高中（皖江八校）5月联考】已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D点睛：本题解题的关键在于能够根据题意，分析出函数的单调性，画出函数的草图，利用数形结合找到不等关系，解不等式即可.10.【天津市部分区2018年高三质量调查（二）】设函数是定义在上的奇函数，且当时，记，则的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据x0时f（x）解析式即可知f（x）在（0，+）上单调递增，由f（x）为奇函数即可得出，然后比较的大小关系，根据f（x）在（0，+）上单调递增即可比较出a，b，c的大小关系详解：x0时，f（x）=lnx；f（x）在（0，+）上单调递增；f（x）是定义在R上的奇函数；=；，；abc；即cba故选：A二、填空题：本大题共7小题，共36分11.【2018届福建省三明市5月模拟】已知定义在上的偶函数，满足，当时，则_【答案】【解析】分析：由题意结合函数的奇偶性和函数的周期性整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知，函数是周期为的偶函数，则：，则：.12【2018届江苏省南京市三模】若是定义在上的周期为3的函数，且,则的值为_【答案】13.【2018届安徽省淮南市二模】已知定义在上的函数满足，当时，则_【答案】1【解析】分析：推导出f（x+4）=f（x），从而f（2018）=f（5044+2）=f（2）=f（0），由此能求出结果详解：定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=，f（x+4）=f（x），所以函数f(x)的周期为4,当x0，2）时，f（x）=x+ex，f（2018）=f（5044+2）=f（2）=f（0）=0+e0=1故答案为：114.【2018届安徽省安庆市第一中学热身】若对任意的，都有，且，则的值为_.【答案】【解析】分析：根据题意求得函数的周期，然后根据周期性求值即可详解：对任意的，都有，故函数的周期为1，15【2018届湖北省2018届5月冲刺】已知是奇函数，是偶函数，它们的定义域均为，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是_【答案】【解析】分析：先根据图像确定在上异号的情况，再根据奇偶性性质讨论在上异号的情况,最后取并集得结果.详解：根据图像得当时异号；当时号；由是奇函数，是偶函数，得当时；因此不等式的解集是.16【2018届浙江省金丽衢十二校第二次联考】若f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=x（1x），则当x0时，f（x）=_；方程5f（x）1f（x）+5=0的实根个数为_【答案】 6【解析】分析：根据偶函数性质求对偶区间解析式，结合函数图像与确定交点个数.详解：因为f（x）为偶函数，所以当x0时，f（x）=,因为5f（x）1f（x）+5=0，所以研究与交点个数，如图：因此有6个交点.17【2018届天津市河西区调查（三）】设是定义在上的偶函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是_【答案】【解析】分析：由为偶函数， 在上连续，且为减函数，可得，等价于，即有，由一次函数的单调性，解不等式即可得结果.详解：因为当时，所以可得时，递减，；当时，递减，且，在上连续，且为减函数，对任意的，不等式恒成立，等价于，可得，两边平方、移项分解因式可得，由一次函数的单调性，可得，且，即为且，即有，则的最大值为，故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18【浙江省台州中学高三第一次统练】已知是定义在R上的奇函数，当时，（1）求的表达式；（2）设0a0时，f(x).(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）设x0，可得-x0，则f（-x）=，再由函数f（x）是偶函数求出x0时的解析式，则答案可求；（2）由f（4）=2，因为f（x）是偶函数，不等式f（x2-1）-2可化为f（|x2-1|）f（4）,利用函数f（x）在（0，+）上是减函数，可得|x2-1|4，求解绝对值的不等式可得原不等式的解集试题解析：(1)当x0，则f(x)log (x).因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)log (x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f(4)log42，f(x)是偶函数，所以不等式f(x21)2转化为f(|x21|)f(4).又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以|x21|4，解得x，即不等式的解集为(，).21【2018届山西省太原市实验中学9月月考】设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间1，2上的表达式.【答案】(1) f(x)是偶函数(2) 试题解析：(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x).又f(x2)f(x)，f(x)f(x).又f(x)的定义域为R，f(x)是偶函数.(2)当x0，1时，x1，0，则f(x)f(x)x；进而当1x2时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故22【2017上海卷】设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有. （1）若，求的取值范围；（2）若为周期函数，证明：是常值函数；（3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值. 函数. 证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）由，可得函数是一个不递减函数，得，即可求解实数的取值范围；（2）利用反证法，假设不是常值函数，令，且存在一个，使得，由函数的性质得到，从而得出矛盾，即可作出证明；（3）充分性及必要性的证明：类似(2)证明充分性；再证必要性，然后分类证明即可.试题分析：（1）因为对于任意的，当时，都有，即可知道函数是一个不递减的函数，即.若，其导函数为，可以得到.（2）假设不是常值函数，并且其周期为.令，且存在一个，使得.由于的性质可知，且.因为是周期函数，所以，这与前面的结论矛盾，所以假设不成立，即是常值函数.（3）充分性证明：当为常值函数时，令，即，因为是周期函数，所以也是周期函数.必要性证明：当是周期函数时，令周期为.即有，则，又因为是周期函数，所以.即可得到，所以是周期函数，由（2）的结论可知，是常值函数.综上所述，是周期函数的充要条件是是常值函数.
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