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第二章2.32.3.1 离散型随机变量的均值A级基础巩固一、选择题1若X是一个随机变量，则E(XE(X)的值为(B)A无法求B0CE(X) D2E(X)解析只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解E(aXb)aE(X)b，而E(X)为常数，E(XE(X)E(X)E(X)02已知离散型随机变量X的分布列如下：X135P0.5m0.2则其数学期望E(X)等于(D)A1 B0.6C23m D2.4解析由0.5m0.21得，m0.3，E(X)10.530.350.22.43有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到次品数的数学期望值是(C)An B(n1)C D(n1)解析设抽到的次品数为X，共有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽取n件产品，抽到的次品数X服从参数为N、M、n的超几何分布，抽到次品数的数学期望值E(X)4今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)(B)A0.765 B1.75 C1.765 D0.22解析由题意知，X取值为0,1,2，P(X0)(10.9)(10.85)0.015，P(X1)0.9(10.85)(10.9)0.850.22，P(X2)0.90.850.765，E(X)00.01510.2220.7651.755(2018珠海高二检测)若随机变量X的分布列如下表，则E(X)等于(D)X012345P2x3x7x2x3xxA B C D解析由2x3x7x2x3xx1，得x，所以E(X)0123456如果a1、a2、a3、a4、a5、a6的期望为3，那么2(a13)，2(a23)，2(a33)，2(a43)，2(a53)，2(a63)的期望是(A)A0 B3 C6 D12解析由E(ab)aE()b2360二、填空题7某射手射击所得环数X的分布列如下：X78910Px0.10.3y已知X的期望E(X)8.9，则y的值为_0.4_解析xy0.6,7x10y8.90.82.7，解得8一袋中装有分别标记着1、2、3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X、Y，设YX，则E()_解析由题意知的取值为0、1、2，0，表示XY；1表示X1，Y2，或X2，Y3；2表示X1，Y3P(0)，P(1)，P(2)，E()0129设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：X012Ppp则E(X)的最大值为_解析由表可得从而得P0，期望值E(X)0(p)1p2p1，当且仅当p时，E(X)最大值三、解答题10(2016衡水中学高二检测)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，射击次数相同，已知两名运动员击中的环数X稳定在7环，8环，9环，10环，他们比赛成绩的统计结果如下：环数击中频率选手78910甲0.20.150.3乙0.20.20.35请你根据上述信息，解决下列问题：(1)估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率；(2)若从甲、乙运动员中只能任选一名参加某大型比赛，请你从随机变量均值意义的角度，谈谈让谁参加比较合适？解析(1)记甲运动员击中n环为事件An；乙运动员击中n环为事件Bn(n1,2,3，10)，甲运动员击中的环数不少于9环的事件A9A10，乙运动员击中的环数不少于9环为事件B9B10.由题意可知事件A9与事件A10互斥，事件B9与事件B10互斥，事件A9A10与事件B9B10独立P(A9A10)P(A9)P(A10)10.20.150.65，P(B9B10)P(B9)P(B10)0.20.350.55甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率等于0.650.550.3575(2)设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量X、Y，由题意知X、Y的可能取值为：7、8、9、10甲运动员射击环数X的概率分布列为：X78910P0.20.150.30.35甲运动员射击环数X的均值E(X)70.280.1590.3100.358.8乙运动员射击环数Y的概率分布列为：Y78910P0.20.250.20.35乙运动员射击环数Y的均值E(Y)70.280.2590.2100.358.7E(X)E(Y)，从随机变量均值意义的角度看，选甲去比较合适B级素养提升一、选择题1已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c3，2，1,0,1,2,3，在这些抛物线中，记随机变量|ab|的取值，则的数学期望E()为(A)A B C D解析抛物线的对称轴在y轴的左侧，0，a与b同号的分布列为：012PE()0122设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为(A)A3 B4 C5 D2解析设白球x个，则黑球7x个，取出的2个球中所含白球个数为，则取值0、1、2，P(0)，P(1)，P(2)，012，x3二、填空题3设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4.P(Xk)akb(k1、2、3、4)又X的均值E(X)3，则ab_解析由条件知，ab4已知随机变量和，其中42，且E()7，若的分布列如下表，则n的值为_1234Pmn解析42E()4E()274E()2E()12m3n4，又mn1，联立求解可得n三、解答题5(2018南安高二检测)根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图所示(1)已知30,40)、40,50)、50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；(2)该电子商务平台将年龄在30,50)之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望解析(1)30,40)、40,50)、50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，由频率分布直方图得解得a0.035，b0.025(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的有(ab)10106人，属于潜在消费人群的有1064人从中取出3人，并计算3人所获得代金券的总和X，则X的所有可能取值为：150,200,250,300P(X150)，P(X200)，P(X250)，P(X300)，X的分布列为：X150200250300PE(X)1502002503002106甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为(1)求乙投球的命中率p；(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望解析(1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由题意得(1P(B)2(1p)2，解得p或p(舍去)，所以乙投球的命中率为(2)由题设和(1)知P(A)，P()，P(B)，P()可能的取值为0、1、2、3，故P(0)P()P()()2，P(1)P(A)P()CP(B)P()P()()22，P(3)P(A)P(BB)()2，P(2)1P(0)P(1)P(3)的分布列为：0123P的数学期望E()01232C级能力拔高浙江卫视的中国好声音(The Voice of China)节目是大型励志专业音乐评论节目每期节目有四位导师参加导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练已知某期中国好声音中，6位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示：导师转身人数(人)4321获得相应导师转身的选手人数(人)1221现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况(1)求选出的2位选手中，为其转身的导师人数和为4的概率；(2)记选出的2位选手中，为其转身的导师人数之和为X，求X的分布列及数学期望E(X) 解析(1)设6位选手中，A有4位导师为其转身，B，C有3位导师为其转身，D，E有2位导师为其转身，F只有1位导师为其转身从6人中随机抽取两人有C15种情况，其中选出的2位选手中，为其转身的导师人数和为4的有CCC3(种)，故所求概率为P(2)X的所有可能取值为3,4,5,6,7P(X3)；P(X4)；P(X5)；P(X6)；P(X7)所以X的分布列如下：X34567P由X的分布列，可得E(X)345675
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