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第2讲平面向量、框图与合情推理1.(2018全国卷,文4)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)等于(B)(A)4(B)3(C)2(D)0解析:a(2a-b)=2a2-ab=2|a|2-ab.因为|a|=1,ab=-1,所以原式=212+1=3.故选B.2.(2018全国卷,文8)为计算S=1-12+13-14+199-1100,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入(B)(A)i=i+1(B)i=i+2(C)i=i+3(D)i=i+4解析:由题意可将S变形为S=1+13+199-12+14+1100,则由S=N-T,得N=1+13+199,T=12+14+1100.据此,结合N=N+1i,T=T+1i+1易知在空白框中应填入i=i+2.故选B.3.(2017全国卷,文10)如图是为了求出满足3n-2n1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入(D)(A)A1 000和n=n+1(B)A1 000和n=n+2(C)A1 000和n=n+1(D)A1 000和n=n+2解析:程序框图是为了求出满足3n-2n1 000的最小偶数n,在和两个空白框中,可以分别填入A1 000和n=n+2,故选D.4.(2017全国卷,文9)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩,老师说,你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则(D)(A)乙可以知道四人的成绩(B)丁可以知道四人的成绩(C)乙、丁可以知道对方的成绩(D)乙、丁可以知道自己的成绩解析:乙、丙一定是一优一良,可推出甲、丁一优一良,乙知道丙的成绩,就可推理出自己成绩,丁看到甲的成绩同样可推理出自己成绩,故D正确,而他们仍无法知道其余两人成绩.5.(2016全国卷,文16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3,甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”.乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.解析:设三张卡片分别为A(1,2),B(1,3),C(2,3),由丙的数字和不是5,则丙的卡片可能为A或B.若丙为A(1,2),则乙为C(2,3),甲为B(1,3)合题,若丙为B(1,3),则甲、乙卡片上的相同数字为2,不合题.答案:1和31.考查角度(1)平面向量:考查平面向量的线性运算、数量积运算及其简单应用(求模、夹角,根据平行、垂直关系求参数值等).(2)框图:考查程序框图的算法功能、完善框图的条件等.(3)合情推理:考查逻辑推理与合情推理的综合运用.2.题型与难易度选择题、填空题,难度中等或中等偏上.(对应学生用书第45页) 平面向量考向1平面向量线性运算【例1】 (1)(2018海南省八校联考)设D为线段BC的中点,且AB+AC=-6AE,则()(A)AD=2AE(B)AD=3AE(C)AD=2EA(D)AD=3EA(2)(2018河北武邑中学调研二)如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若BE=BA+BD(,R),则+等于()(A)1(B)34(C)23(D)12解析:(1)由D为线段BC的中点,且AB+AC=-6AE,得2AD=-6AE,AD=-3AE,即AD=3EA.故选D.(2)因为E为线段AO的中点,所以BE=12BA+12BO=12BA+1212BD=12BA+14BD=BA+BD,所以+=12+14=34.故选B.平面向量的线性运算是指加减和数乘运算,注意如下几点:(1)AB=OB-OA(O为任意一点,下同);(2)若D为AB中点,则OD=12(OA+OB);(3)如果OC=tOA+(1-t)OB,则A,B,C三点共线,反之亦然.考向2平面向量的数量积运算【例2】 (1)(2018吉林省百校联盟九月联考)已知单位向量e1与e2的夹角为3,向量e1+2e2与2e1+e2的夹角为23,则等于()(A)-23(B)-3(C)-3或-23(D)-1或-3(2)(2018吉林省长春市一模)已知平面内三个不共线向量a,b,c两两夹角相等,且|a|=|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|=.解析:(1)法一由题意,得e1e2=11cos 3=12,所以(e1+2e2)(2e1+e2)=2|e1|2+(4+)e1e2+2|e2|2=2+12(4+)+2=52+4,|e1+2e2|=(e1+2e2)2=|e1|2+4|e2|2+4e1e2=7,|2e1+e2|=(2e1+e2)2=4|e1|2+2|e2|2+4e1e2=2+2+4.所以cos 23=52+472+2+4=-12,两边同时平方并整理得(3+2)(+3)=0,解得=-3或=-23,经检验将=-23代入原方程4+5274+2+2=-12中,不成立,故=-3.故选B.法二根据已知可设e1=(1,0),e2=12,32,则e1+2e2=(2,3),2e1+e2=2+12,32,所以(e1+2e2)(2e1+e2)=4+52,|e1+2e2|=7,|2e1+e2|=2+2+4,下同解法一.(2)因为a,b,c不共线,两两夹角相等,所以=120,所以ab=11cos 120=-12,ac=bc=13cos 120=-32.所以|a+b+c|=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2ab+2bc+2ca=1+1+9-1-3-3=2.答案:(1)B(2)2(1)平面向量的数量积运算既可以使用定义,即ab=|a|b|cos,也可以使用坐标运算,即a=(x1,y1),b=(x2,y2),ab=x1x2+y1y2;(2)向量的夹角和模的求解是根据数量积的定义和坐标运算得出的,特别注意|a|=a2.热点训练1:(1)(2018齐鲁名校教研协作体冲刺卷)已知O1,O2,O3的半径依次为1,2,3,O1,O2外切于点M,O2,O3外切于点N,O3,O1外切于点P,则O1N(O1M+O1P)等于()(A)85(B)175(C)145(D)195(2)(2018河南郑州二次质检)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|=1,若ab=12,则(a+b)(2b-c)的最小值为()(A)-2(B)3-3(C)-1(D)0解析:(1)如图所示,O1O2=3,O2O3=5,O3O1=4,所以O2O1O3O1,O1N=O1O2+O2N=O1O2+25O2O3=O1O2+25(O1O3-O1O2)=35O1O2+25O1O3,所以O1N(O1M+O1P)=35O1O2+25O1O3(O1M+O1P)=35O1O2+25O1O313O1O2+14O1O3=353+254=175.故选B.(2)由ab=12,可得=3,不妨设a=(1,0),b=12,32,c=(cos ,sin ),原式=2ab-ac+2b2-bc=3-cos +12cos +32sin =3-3sin+3,所以最小值为3-3,故选B.框图【例3】 (1)(2018安徽安庆二模)阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,则输出的x值为()(A)0(B)1(C)16(D)32(2)(2018福建厦门第二次质检)执行如图的程序框图,若输出S的值为55,则判断框内应填入()(A)n9?(B)n10?(C)n11?(D)n12?解析:(1)x=0,t=1,k=10;x=2,t=2,k=8;x=16,t=3,k=6;x=1,t=4,k=4.此时满足条件结束循环.故选B.(2)程序运行中变量值依次为S=-1,n=2;S=3,n=3;S=-6,n=4;S=10,n=5;S=-15,n=6;S=21,n=7;S=-28,n=8;S=36,n=9;S=-45,n=10;S=55,n=11,此时应结束循环,条件应为n11.故选C.(1)根据框图求输出值时,根据初始值逐次执行算法,当第一次满足判断条件时即输出;(2)根据输出结果填写判断条件时,注意分析算法的功能,填写的判断条件必须在第一次满足时即输出已知的结果.热点训练2:(2018四川峨眉第七教育发展联盟适应考)运行如图所示的程序框图,则输出的结果为()(A)1(B)2(C)3(D)4解析:根据程序框图可知,b=0,a=1,所以b=lg 2,a=2;b=lg 2+lg 32=lg 3,a=3;b=lg 3+lg 43=lg 4,a=4;b=lg 98+lg 9998=lg 99,a=99;b=lg 99+lg 10099=lg 100=2,a=100;此时a乙乙说甲丙丙说丙丁丁说丙乙对于选项A,甲,丁说的都对,不符合只有一个人对,对于选项B,丙,丁说的都对,也不符合只有一个人对,对于选项C,乙说的对,但乙不是最少的,不符,对于选项D,甲说的对,也正好是最少的,符合,故选D.点睛:对于逻辑推理题,由于关系较复杂,所以常用表格形式列出相互关系,再逐个进行推理验证.(2)利用类比思想,令1+x3=x,解得x=32.答案:(1)D(2)32(1)逻辑推理题通常使用类似反证法的方法进行分析判断,即在假定某种可能性成立时,查看已知关系,如果符合,则该假定成立,如果不符合,则该假定不成立;(2)类比推理的关键是发现类比对象之间的共性.热点训练3:(1)(2018福建百校考前冲刺)中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测,算筹最晚出现在春秋晚期战国初年,算筹记数的方法是:个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出;十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为.19这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示,则3log264的运算结果可用算筹表示为()(2)(2018吉林省吉林市三调)聊斋志异中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:223=223,338=338,4415=4415,5524=5524,则按照以上规律,若88n=88n具有“穿墙术”,则n=.解析:(1)因为3log264=36=729,从题中所给表示数码知729可用算筹表示,故选D.(2)因为223=2222-1=223,338=3332-1=338,4415=4442-1=4415,5524=5552-1=5524,所以按照以上规律88n=8882-1=88n,可得n=82-1=63.答案:(1)D(2)63 【例1】 (1)(2018四川绵阳三诊)ABC中,AB=5,AC=10,ABAC=25,点P是ABC内(包括边界)的一动点,且AP=35AB-25AC(R),则|AP|的最大值是()(A)332(B)37(C)39(D)41(2)(2018江西高三质量检测)已知向量OA,OB满足|OA|=|OB|=1,OAOB=0,OC=OA+OB(,R),若M为AB的中点,并且|MC|=1,则点(,)的轨迹方程是()(A)+122+-122=1(B)-122+(+1)2=1(C)(-1)2+(-1)2=1(D)-122+-122=1(3)(2018河南郑州三检)已知P为椭圆x24+y23=1上一个动点,过点P作圆(x+1)2+y2=1的两条切线,切点分别是A,B,则PAPB的取值范围为()(A)32,+(B)32,569(C)22-3,569(D)22-3,+)解析:(1)因为P为三角形ABC内(含边界)的动点,所以-250,35-251.从而-10.又AP2=35AB-25AC2=162-12+9,因为-10,所以AP2的最大值为37,故|AP|max=37,故选B.(2)由于M是AB的中点,所以ABC中,OM=12(OA+OB),所以|MC|=|OC-OM|=-12OA+-12OB=1,所以-12OA+-12OB2=1,所以-122+-122=1.故选D.(3)如图,由题意设APB=2,则|PA|=|PB|=1tan,所以PAPB=|PA|PB|cos 2=1tan2cos 2=1+cos21-cos2cos 2,设cos 2=t,则PAPB=t(1+t)1-t=(1-t)+21-t-32(1-t)21-t-3=22-3,当且仅当1-t=21-t,即t=1-2时等号成立,此时cos 2=1-2.又当点P在椭圆的右顶点时,sin =13,所以cos 2=1-2sin2=79,此时PAPB最大,且最大值1+791-7979=569.所以PAPB的取值范围是22-3,569.故选C.【例2】 (1)(2018山东潍坊三模)执行如图所示的程序框图,输出S的值为()(A)45(B)55(C)66(D)78(2)(2018山东济南二模)如图所示的程序框图中,Mod(m,n)表示m除以n所得的余数,例如:Mod(5,2)=1,则该程序框图的输出结果为()(A)2(B)3(C)4(D)5解析:(1)根据程序框图的运算功能可知,该程序框图是计算2n2 018的正整数n的和,因为210=1 0242 018,所以执行程序框图,输出的结果为S=1+2+3+10=10112=55.故选B.(2)执行程序框图,x=1,y=1,i=0,n=1.z=x+y=1+1=2,不符合n10,不符合Mod(z,3)=0,x=1,y=2,n=2,z=x+y=1+2=3,不符合n10,符合Mod(z,3)=0,i=0+1=1,x=2,y=3,n=3,z=x+y=2+3=5,不符合n10,不符合Mod(z,3)=0,x=3,y=5,n=4,z=x+y=3+5=8,不符合n10,不符合Mod(z,3)=0,x=5,y=8,n=5,z=x+y=5+8=13,不符合n10,不符合Mod(z,3)=0,x=8,y=13,n=6,z=x+y=8+13=21,不符合n10,符合Mod(z,3)=0,i=1+1=2,x=13,y=21,n=7,z=x+y=13+21=34,不符合n10,不符合Mod(z,3)=0,x=21,y=34,n=8,z=x+y=21+34=55,不符合n10,不符合Mod(z,3)=0,x=34,y=55,n=9,z=x+y=34+55=89,不符合n10,不符合Mod(z,3)=0,x=55,y=89,n=10,z=x+y=55+89=144,不符合n10,符合Mod(z,3)=0,i=2+1=3,x=89,y=144,n=11,z=x+y=89+144=233.符合n10,输出i=3.故选B.【例3】 (1)(2018河南中原名校第六次质量考评)已知函数f(x)=1x+1x+1+1x+2,由f(x-1)=1x-1+1x+1x+1是奇函数,可得函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称,类比这一结论,可得函数g(x)=x+2x+1+x+3x+2+x+7x+6的图象关于点对称;(2)(2018山东济南一模)如图所示,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上标签:原点处标数字0,记为a0;点(1,0)处标数字1,记为a1;点(1,-1)处标数字0,记为a2;点(0,-1)处标数字-1,记为a3;点(-1,-1)处标数字-2,记为a4;点(-1,0)处标数字-1,记为a5;点(-1,1)处标数字0,记为a6;点(0,1)处标数字1,记为a7;依此类推,格点坐标为(i,j)的点处所标的数字为i+j(i,j均为整数),记Sn=a1+a2+an,则S2 018=.解析:(1)由题意得g(x)-6=x+2x+1-1+x+3x+2-1+x+4x+3-1+x+5x+4-1+x+6x+5-1+x+7x+6-1=1x+1+1x+2+1x+3+1x+4+1x+5+1x+6,gx-72-6=1x-72+1+1x-72+2+1x-72+3+1x-72+4+1x-72+5+1x-72+6,设gx-72-6=1x-52+1x-32+1x-12+1x+12+1x+32+1x+52=h(x),所以h(-x)=1-x-52+1-x-32+1-x-12+1-x+12+1-x+32+1-x+52=-h(x),所以h(x)是奇函数,所以函数g(x)=x+2x+1+x+3x+2+x+7x+6的图象关于点-72,6对称.(2)设an坐标为(x,y),由归纳推理可知,an=x+y,第一圈从(1,0)点到(1,1)点共8个点,由对称性可得a1+a2+a8=0;第二圈从点(2,1)到(2,2)共16个点,由对称性可得a9+a24=0,第n圈共有8n个点,这8n项的和也为零,设a2 018在第n圈,由Sn=8+16+8n=4(n+1)n,可得前22圈共有2 024个数,S2 024=0,S2 018=S2 024-(a2 024+a2 023+a2 019),a2 024所在点坐标为(22,22),a2 024=22+22,a2 023所在点坐标为(21,22),a2 023=21+22,a2 022=20+22,a2 021=19+22,a2 020=18+22,a2 019=17+22,可得a2 024+a2 019=249,所以S2 018=0-249=-249.答案:(1)-72,6(2)-249
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