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课时跟踪检测（十九） 函数的最大(小)值与导数层级一学业水平达标1设函数f(x)2x1(x0)，则f(x)()A有最大值B有最小值C是增函数 D是减函数解析：选Af(x)2，令f(x)0，得x.当x时，f(x)0；当x0时，f(x)0，x是函数f(x)的极大值点，也是最大值点故f(x)有最大值，无最小值2函数y2x33x212x5在2,1上的最大值、最小值分别是()A12，8 B1，8C12，15 D5，16解析：选Ay6x26x12，由y0x1或x2(舍去)x2时，y1；x1时，y12；x1时，y8. ymax12，ymin8.故选A.3函数f(x)2，x(0,5的最小值为()A2 B3C. D2解析：选B由f(x)0，得x1，且x(0,1)时，f(x)0，x(1,5时，f(x)0，x1时，f(x)最小，最小值为f(1)3.4函数f(x)x44x(|x|0得sin x，0x；由y，2，当x时取最大值，故应选B.6函数f(x)x2(x0)的最小值是_解析：f(x)2x.令f(x)0，得x3.当x3时，f(x)0；当3x0时，f(x)0.所以当x3时，f(x)取得极小值，也是最小值，所以f(x)min27.答案：277函数f(x)xex，x0,4的最小值为_解析：f(x)exxexex(1x)令f(x)0，得x1(ex0)，f(1)0，f(0)0，f(4)0，所以f(x)的最小值为0.答案：08若函数f(x)x33xa在区间0,3上的最大值、最小值分别为m，n，则mn_.解析：f(x)3x23，当x1或x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0.f(x)在0,1上单调递减，在1,3上单调递增f(x)minf(1)13a2an.又f(0)a，f(3)18a，f(0)f(3)f(x)maxf(3)18am，mn18a(2a)20.答案：209已知k为实数，f(x)(x24)(xk)(1)求导函数f(x)；(2)若x1是函数f(x)的极值点，求f(x)在区间2,2上的最大值和最小值解：(1)f(x)x3kx24x4k，f(x)3x22kx4.(2)由f(1)0，得k.f(x)x3x24x2，f(x)3x2x4.由f(x)0，得x1或x.又f(2)0，f(1)，f ，f(2)0，f(x)在区间2,2上的最大值为，最小值为.10已知函数f(x)x3ax2bx5，曲线yf(x)在点P(1，f(1)处的切线方程为y 3x1.(1)求a，b的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值解：(1)依题意可知点P(1，f(1)为切点，代入切线方程y3x1可得，f(1)3114，f(1)1ab54，即ab2，又由f(x)x3ax2bx5得，又f(x)3x22axb，而由切线y3x1的斜率可知f(1)3，32ab3，即2ab0，由解得a2，b4.(2)由(1)知f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4(3x2)(x2)，令f(x)0，得x或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x3(3，2)21f(x)00f(x)8极大值极小值4f(x)的极大值为f(2)13，极小值为f，又f(3)8，f(1)4，f(x)在3,1上的最大值为13.层级二应试能力达标1函数f(x)在区间2,4上的最小值为()A0B.C. D.解析：选Cf(x)，当x2,4时，f(x)0，即函数f(x)在2,4上是单调递减函数，故当x4时，函数f(x)有最小值.2函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A0,1) B(0,1)C(1,1) D.解析：选Bf(x)3x23a，令f(x)0，可得ax2，又x(0,1)，0a1，故选B.3若函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为()A10 B71C15 D22解析：选Bf(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0，得x3或x1.又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.4已知当x时，函数f(x)txsin x(tR)的值恒小于零，则t的取值范围是()A. B.C. D.解析：选Af(x)txsin x0在x内恒成立，即t在内恒成立令g(x)，则g(x).令(x)xcos xsin x，则(x)xsin x，当x时，(x)0，(x)在上单调递减，(x)(0)0，sin xxcos x，g(x)0，g(x)在内单调递减，t.5设函数f(x)x2ex，若当x2,2时，不等式f(x)m恒成立，则实数m的取值范围是_解析：f(x)xexx2exx(x2)，由f(x)0得x0或x2.当x2,2时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)02e2当x0时，f(x)minf(0)0，要使f(x)m对x2,2恒成立，只需mf(x)min，m0.答案：(，0)6已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a_.解析：y2x2，令y0，得x1，函数在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减若a1，则最大值为f(a)a22a3，解得a；若a1，则最大值为f(1)1234.综上知，a.答案：7已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值解：(1)f(x)3ax22xb，g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.g(x)是奇函数，g(x)g(x)，从而3a10，b0，解得a，b0，因此f(x)的表达式为f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x，g(x)x22，令g(x)0.解得x1(舍去)，x2，而g(1)，g()，g(2)，因此g(x)在区间1,2上的最大值为g()，最小值为g(2).8已知函数f(x)ln x.(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在1，e上的最小值是，求a的值解：函数f(x)ln x的定义域为(0，)，f(x)，(1)a0，故函数在其定义域(0，)上单调递增(2)x1，e时，分如下情况讨论：当a0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)a1，这与函数在1，e上的最小值是相矛盾；当a1时，函数f(x)在1，e上单调递增，其最小值为f(1)1，同样与最小值是相矛盾；当1ae时，函数f(x)在1，a)上有f(x)0，f(x)单调递增，所以，函数f(x)的最小值为f(a)ln a1，由ln a1，得a.当ae时，函数f(x)在1，e上有f(x)e时，显然函数f(x)在1，e上单调递减，其最小值为f(e)12，仍与最小值是相矛盾；综上所述，a的值为.
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