资源描述
2.1.2离散型随机变量的分布列学习目标：1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质.2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列(重点)3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用(难点)自 主 预 习探 新 知1离散型随机变量的分布列(1)定义一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列为了简单起见，也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列(2)性质pi0，i1,2，n；i1.思考：求离散型随机变量的分布列应按几步进行？提示求离散型随机变量的分布列的步骤：(1)找出随机变量所有可能的取值xi(i1,2,3，n)；(2)求出相应的概率P(Xxi)pi(i1,2,3，n)；(3)列成表格形式2两点分布X01P1pp若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称pP(X1)为成功概率3超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，其中mmin，且nN，MN，n，M，NN*.X01mP思考：如何正确理解超几何分布？提示在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等(1)在应用超几何分布解题时，应首先明确随机变量的取值是否满足超几何分布的使用范围(2)在产品抽样中，一般采用不放回抽样(3)超几何分布的分布列为X01mP基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数()(2)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究()(3)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布()解析(1)因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在0,1范围内(2)根据两点分布的概念知，该说法正确(3)X的可能取值为0,1,2,3，可求得P(Xk)(k0,1,2,3)，是超几何分布答案(1)(2)(3)2下列表中能成为随机变量X的分布列的是() 【导学号：95032128】A.X101P0.30.40.4B.X123P0.40.70.1C.X101P0.30.40.3D.X123P0.30.40.4C由离散型随机变量分布列的性质可知，概率非负且和为1.3若离散型随机变量X的分布列为X01P2a3a则a()A.B.C. D.A由离散型随机变量分布列的性质可知，2a3a1，所以a.4某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X3)_. 【导学号：95032129】P(X3).合 作 探 究攻 重 难分布列的性质及应用设随机变量X的分布列Pak(k1,2,3,4,5)(1)求常数a的值；(2)求P.解分布列可改写为：XPa2a3a4a5a(1)由a2a3a4a5a1，得a. (2)PPPP，或P1P1.规律方法利用离散型分布列的性质解题时要注意以下两个问题(1)XXi的各个取值表示的事件是互斥的(2)不仅要注意i1而且要注意pi0，i1,2，n.跟踪训练1若离散型随机变量X的分布列为：X01P4a13a2a求常数a及相应的分布列解由分布列的性质可知：3a2a4a11，即3a25a20，解得a或a2，又因为4a10，即a，故a2.所以a，此时4a1，3a2a.所以随机变量X的分布列为：X01P求离散型随机变量yf()的分布列已知随机变量的分布列为210123P分别求出随机变量1，22的分布列. 【导学号：95032130】解由1知，对于取不同的值2，1,0,1,2,3时，1的值分别为1，0，1，所以1的分布列为1101P由22知，对于的不同取值2,2及1,1，2分别取相同的值4与1，即2取4这个值的概率应是取2与2的概率与的和，2取1这个值的概率应是取1与1的概率与的和，所以2的分布列为20149P规律方法(1)若是一个随机变量，a，b是常数，则ab也是一个随机变量，推广到一般情况有：若是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f()也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若为离散型随机变量，则f()也为离散型随机变量.(2)已知离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量f()的分布列的关键是弄清楚取每一个值时对应的的值，再把取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可.跟踪训练2设离散型随机变量X的分布列为：X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X1的分布列；(2)|X1|的分布列解由分布列的性质知：020.10.10.3m1，m0.3.首先列表为：X012342X113579|X1|10123从而由上表得两个分布列为：(1)2X1的分布列：2X113579P0.20.10.10.30.3(2)|X1|的分布列：|X1|0123P0.10.30.30.3利用排列组合求分布列袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数(1)求袋中所有的白球的个数(2)求随机变量的分布列(3)求甲取到白球的概率. 【导学号：95032131】思路探究可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率解(1)设袋中原有n个白球，由题意知.可得n3或n2(舍去)，即袋中原有3个白球(2)由题意，的可能取值为1,2,3,4,5.P(1)；P(2)；P(3)；P(4)；P(5).所以的分布列为：12345P(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，则P(A)P(1)P(3)P(5).规律方法求离散型随机变量分布列时应注意的问题(1)确定离散型随机变量的分布列的关键是要搞清取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出取每一个值的概率(2)在求离散型随机变量的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确跟踪训练3口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列解随机变量X的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C，事件“X3”包含的基本事件总数为C，事件“X4”包含的基本事件总数为CC，事件“X5”包含的基本事件总数为CC，事件“X6”包含的基本事件总数为CC.从而有P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6)，所以随机变量X的分布列为X3456P两点分布与超几何分布探究问题1利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？提示这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量2只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？提示不一定如随机变量X的分布列由下表给出X25P0.30.7X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.3在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个球，求取出的球中白球个数X是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？提示随机变量X服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(NM个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，求顾客乙中奖的概率；设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列. 【导学号：95032132】思路探究(1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X(0,1)(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X1,2)服从超几何分布解(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况P(X1)，则P(X0)1P(X1)1.因此X的分布列为X01P(2)顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖故所求概率P.Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y0)，P(Y10)，P(Y20)，P(Y50)，P(Y60).因此随机变量Y的分布列为Y010205060P规律方法1两点分布的几个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的(2)由对立事件的概率求法可知，已知P(X0)(或P(X1)，便可求出P(X1)(或P(X0)2解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(Xk)，从而求出X的分布列跟踪训练4老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布列；(2)他能及格的概率解(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P(Xr)(r0,1,2,3)所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的概率分布列为X0123P(2)他能及格的概率P(X2)P(X2)P(X3).当 堂 达 标固 双 基1设随机变量的分布列为P(i)a，i1,2,3，则a的值为()A1BC DC由分布列的性质可知：a1，解得a.2设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验的成功次数，则P(X0)等于() 【导学号：95032133】A0 B.C. D.B设P(X1)p，则P(X0)1p.依题意知，p2(1p)，解得p.故P(X0)1p.3设随机变量X等可能地取值1,2,3,4，10.又设随机变量Y2X1，则P(Y6)的值为()A0.3 B0.5C0.1 D0.2AY6即2X16，X，即X1,2,3，P(Y6)PP(X1)P(X2)P(X3).4将一枚硬币掷三次，设X为正面向上的次数，则P(0X3)_.本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是将一枚硬币掷三次共有238种结果而X的可能取值为0,1,2,3.X0表示三次都是反面向上，有一种结果，X3表示三次都是正面向上，有一种结果所以P(0X3)1.5从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数(1)求的分布列；(2)求“所选3人中女生人数1”的概率. 【导学号：95032134】解(1)可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，P(k)，k0,1,2.所以，的分布列为012P(2)由(1)知，“所选3人中女生人数1”的概率为P(1)P(0)P(1).
展开阅读全文