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习题课复数运算的综合问题课后训练案巩固提升1.若复数z满足|z-1+i|=3,则复数z对应的点的轨迹围成图形的面积等于()A.3B.9C.6D.9解析:由题意得,复数z对应的点的轨迹是以(1,-1)为圆心,以3为半径的圆,其面积等于32=9.答案:D2.已知a,bR,且2+ai,b+3i是一个实系数一元二次方程的两个根,则a,b的值分别是()A.a=-3,b=2B.a=3,b=-2C.a=-3,b=-2D.a=3,b=2解析:由题意得,这两个复数一定是互为共轭复数,故a=-3,b=2.答案:A3.满足条件|z+i|=|z+3i|的复数z对应点的轨迹是()A.直线B.圆C.椭圆D.线段解析:由已知得,复数z对应的点到两点(0,-1),(0,-3)的距离相等,因此其轨迹是这两个点连线的垂直平分线,是一条直线.答案:A4.已知复数z1,z2满足|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=,则|z1+z2|的值等于()A.B.6C.D.58解析:由|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2)及已知条件可得|z1+z2|=.答案:C5.关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,则实数a的值等于.解析:设方程的实数根为x=m,则原方程可变为3m2-m-1=(10-m-2m2)i,所以解得a=11或a=-.答案:11或-6.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是.解析:设z=x+yi(x,yR),则有+2x+2yi=13+6i,于是解得因为13-2x=0,所以x,故x=舍去,故z=4+3i.答案:z=4+3i7.已知zC,且|z+1|=|z-i|,则|z+i|的最小值等于.解析:由于|z+1|=|z-i|表示以(-1,0),(0,1)为端点的线段的垂直平分线,而|z+i|=|z-(-i)|表示直线上的点到(0,-1)的距离,数形结合知其最小值为.答案:8.已知复数z=,z1=2+mi.(1)若|z+z1|=5,求实数m的值;(2)若复数az+2i在复平面上对应的点在第二象限,求实数a的取值范围.解:(1)z=1+i.因为|z+z1|=|1+i+2+mi|=|3+(m+1)i|=5,所以9+(m+1)2=25.解得m=-5或m=3.(2)az+2i=a(1+i)+2i=a+(a+2)i,在复平面上对应的点在第二象限,所以解得-2a0.9.导学号40294029已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)有实数根b.(1)求实数a,b的值.(2)若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0,当z为何值时,|z|有最小值?并求出|z|的最小值.解:(1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)的实根,所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,故解得a=b=3.(2)设z=m+ni(m,nR),由|-3-3i|=2|z|,得(m-3)2+(n+3)2=4(m2+n2),即(m+1)2+(n-1)2=8,所以Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,以2为半径的圆.如图,当Z点在直线OO1上时,|z|有最大值或最小值.因为|OO1|=,半径r=2,所以当z=1-i时,|z|有最小值,且|z|min=.
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