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第5节直线、平面垂直的判定与性质【选题明细表】知识点、方法题号垂直关系的基本问题1,6,11直线与平面垂直的判定与性质2,8,9,12平面与平面垂直的判定与性质3,4,7线面角与二面角5,10,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.(2017南阳、信阳等六市一模)设直线m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列事件中是必然事件的是(D)(A)若m,n,mn,则(B)若m,n,mn,则(C)若m,n,mn,则(D)若m,n,mn,则解析:若m,n,mn,则、位置关系不确定,选项A不正确;若m,则中存在直线c与m平行,mn,n,则c,又因为c,所以,选项B不正确;若m,n,mn,则,可以相交,选项C不正确;若m,mn,则n,又n,所以,选项D正确.故选D.2.已知平面与平面相交,直线m,则(C)(A)内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直(B)内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直(C)内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直(D)内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直解析:如图,在平面内的直线若与,的交线a平行,则有m与之垂直.但却不一定在内有与m平行的直线,只有当时才存在.故选C.3.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,BAC=90,BC1AC,则点C1在平面ABC上的射影H必在(A)(A)直线AB上(B)直线BC上(C)直线AC上(D)ABC的内部解析:连接AC1,因为ACAB,ACBC1,ABBC1=B,所以AC平面ABC1,又AC平面ABC,所以平面ABC1平面ABC,所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上,故选A.4.如图,在四面体DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列正确的是(C)(A)平面ABC平面ABD(B)平面ABD平面BDC(C)平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDE(D)平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDE解析: 因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BEAC,同理有DEAC,于是AC平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE,所以选C.5.导学号 38486152已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为(B)(A) (B)(C)(D)解析:取正三角形ABC的中心O,连接OP,则PAO是PA与平面ABC所成的角.因为底面边长为,所以AD=,AO=AD=1.三棱柱的体积为()2AA1=,解得AA1=,即OP=AA1=,所以tanPAO=,即PAO=.6.设,是空间中两个不同的平面,m,n是平面及外的两条不同直线.从“mn;n;m”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:(填序号).解析:因为当n,m时,平面及所成的二面角与直线m,n所成的角相等或互补,所以若mn,则,从而由正确;同理也正确.答案:或7.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析:由定理可知,BDPC.所以当DMPC时,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,所以平面MBD平面PCD.答案:DMPC(答案不唯一)8.如图,PA圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的正投影,给出下列结论:AFPB;EFPB;AFBC;AE平面PBC.其中正确结论的序号是.解析:由题意知PA平面ABC,所以PABC.又ACBC,PAAC=A,所以BC平面PAC.所以BCAF.因为AFPC,BCPC=C,所以AF平面PBC,所以AFPB,AFBC.又AEPB,AEAF=A,所以PB平面AEF.所以PBEF.故正确.答案:能力提升(时间:15分钟)9.导学号 38486153如图,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H.则以下命题中,错误的是(D)(A)点H是A1BD的垂心(B)AH垂直于平面CB1D1(C)AH延长线经过点C1(D)直线AH和BB1所成角为45解析:对于A,由于AA1=AB=AD,所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1,B,D的距离相等,即点H是A1BD的外心,而A1B=A1D=BD,故点H是A1BD的垂心,命题A是真命题;对于B,由于B1D1BD,CD1A1B,故平面A1BD平面CB1D1,而AH平面A1BD,从而AH平面CB1D1,命题B是真命题;对于C,由于AH平面CB1D1,因此AH的延长线经过点C1,命题C是真命题;对于D,由C知直线AH即是直线AC1,又直线AA1BB1,因此直线AC1和BB1所成的角就等于直线AA1与AC1所成的角,即A1AC1,而tanA1AC1=,因此命题D是假命题.10.在边长为1的菱形ABCD中,ABC=60,将菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=1,则二面角BACD的余弦值为(A)(A) (B)(C)(D)解析:在菱形ABCD中连接BD交AC于O点,则ACBD,在折起后的图中,由四边形ABCD为菱形且边长为1,则DO=OB=,由于DOAC,BOAC,因此DOB就是二面角BACD的平面角,由BD=1得cosDOB=.11.(2016江西上饶质检)已知m,n是两条不相同的直线,是两个不重合的平面,现有以下说法:若,n,m,则mn;若m,m,n,则n;若mn,m,n,则;若m,n,则mn;若,m,n,则mn.其中正确说法的序号为.解析:对于,注意到分别位于两个平行平面内的两条直线未必平行,可能是异面直线,因此不正确;对于,由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知,平行;由定理“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它也垂直于另一个平面”得知,n,因此正确;对于,由定理“由空间一点向一个二面角的两个半平面分别引垂线,则这两条垂线所成的角与该二面角相等或互补”得知,正确;对于,分别平行于两个垂直平面的两条直线未必垂直,因此不正确;对于,m与n有可能平行,因此不正确.综上所述,其中正确的说法有 .答案:12.如图,在直角梯形ABCD中,BCDC,AEDC,且E为CD的中点,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是.(写出所有正确说法的序号)不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN平面DEC;不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MNAE;不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MNAB;在折起过程中,一定存在某个位置,使ECAD.解析:由已知,在未折叠的原梯形中,ABDE,BEAD,所以四边形ABED为平行四边形,所以BE=AD,折叠后如图所示.过点M作MPDE,交AE于点P,连接NP.因为M,N分别是AD,BE的中点,所以点P为AE的中点,故NPEC.又MPNP=P,DECE=E,所以平面MNP平面DEC,故MN平面DEC,正确;由已知,AEED,AEEC,所以AEMP,AENP,又MPNP=P,所以AE平面MNP,又MN平面MNP,所以MNAE,正确;假设MNAB,则MN与AB确定平面MNBA,从而BE平面MNBA,AD平面MNBA,与BE和AD是异面直线矛盾,错误;当ECED时,ECAD.因为ECEA,ECED,EAED=E,所以EC平面AED,AD平面AED,所以ECAD,正确.答案:13.(2017广州市一模)如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,BDDC,点E是BC边的中点,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.(1)求证:AB平面ADC;(2) 若AD=1,AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为,求点B到平面ADE的距离.(1)证明:因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,又BDDC,所以DC平面ABD.因为AB平面ABD,所以DCAB.又因为折叠前后均有ADAB,DCAD=D,所以AB平面ADC.(2)解:由(1)知DC平面ABD,所以AC在平面ABD内的正投影为AD,即CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角.依题意tanCAD=,AD=1,所以CD=.设AB=x(x0),则BD=.因为ABDDCB,所以=,即=,解得x=,故AB=,BD=,BC=3.由于AB平面ADC,ABAC,E为BC的中点,由平面几何知识得AE=,同理DE=,所以SADE=1=.因为DC平面ABD,所以=CDSABD=.设点B到平面ADE的距离为d,则dSADE=,所以d=,即点B到平面ADE的距离为.14.导学号 38486154已知四棱锥PABCD的三视图如图所示,E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥PABCD的体积;(2)是否不论点E在何位置,都有BDAE?证明你的结论.(3)若点E为PC的中点,求二面角DAEB的大小.解:(1)由三视图可知,四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC底面ABCD,且PC=2.所以=S正方形ABCDPC=122=,即四棱锥PABCD的体积为.(2)不论点E在何位置,都有BDAE.证明如下:连接AC,因为ABCD是正方形,所以BDAC.因为PC底面ABCD,且BD平面ABCD,所以BDPC.又因为ACPC=C,所以BD平面PAC.因为不论点E在何位置,都有AE平面PAC.所以不论点E在何位置,都有BDAE.(3)在平面DAE内过点D作DFAE于F,连接BF.因为AD=AB=1,DE=BE=,AE=,所以RtADERtABE,从而ADFABF,所以BFAE.所以DFB为二面角DAEB的平面角.在RtADE中,DF=,所以BF=.又BD=,在DFB中,由余弦定理得cosDFB=-,所以DFB=,即二面角DAEB的大小为.
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