资源描述
第一讲 坐标系复习课学习目标1.复习回顾坐标系的重要知识点.2.进一步熟练极坐标方程的求法，能熟练进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.能应用极坐标解决相关问题，并体会极坐标在解决有关问题时的优越性1平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系(1)在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系O点称为极点，Ox称为极轴平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度来刻画(如图所示)这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标称为极径，称为极角(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)由图可知下面的关系式成立：或顺便指出，上式对b0)，A，B分别为椭圆上的两点，且OAOB.(1)求证：为定值；(2)求AOB面积的最大值和最小值解以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系设A，B两点的极坐标分别为(1，1)，(2，2)，则A，B两点的直角坐标分别为(1cos1，1sin1)，(2cos2，2sin2)(1)A在椭圆1上，1，同理为定值(2)在AOB中，OAOB.S|OA|BO|12.S2.由(1)知，当sin2210时，(12)2的最大值为a2b2，S最大ab，当sin2211时，(12)2的最小值为，S最小.反思与感悟(1)用极坐标解决问题的关键是建立适当的极坐标系建系的原则是有利用极径、极角表示问题中的量(2)用极坐标解决问题，并不能忽视极坐标与直角坐标间的互化问题跟踪训练3用极坐标法证明：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数证明设F为抛物线的焦点，AB是过焦点F的弦，焦点到准线的距离为.以F为极点，Fx为极轴，建立如图所示的极坐标系设A的极坐标为(1，)，则B的极坐标为(2，)，由抛物线的定义知，1，11cos，1.同理2，(常数)1已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos1，4cos，则曲线C1与C2交点的极坐标为_答案2在以O为极点的极坐标系中，圆4sin和直线sina相交于A，B两点若AOB是等边三角形，则a的值为_答案3解析由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2y24y和ya，它们相交于A，B两点，AOB为等边三角形，所以不妨取直线OB的方程为yx，联立消去y，得x2x，解得x或x0，所以yx3，即a3.3已知圆的极坐标方程为4cos，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|_.答案24已知极坐标方程C1：10，C2：sin6，(1)化C1，C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；(2)求C1，C2交点间的距离解(1)由C1：10，得2100，所以x2y2100，所以C1为圆心是(0,0)，半径是10的圆由C2：sin6，得6.所以yx12，即xy120，所以C2表示直线(2)由于圆心(0,0)到直线xy120的距离为d60)和4所表示的曲线围成的图形面积是()A.B.C.D.答案B3在极坐标系中，过点A(6，)作圆4cos的切线，则切线长为()A2B6C2D2答案C4直线l1：sin()a和l2：的位置关系是()Al1l2Bl1l2Cl1和l2重合Dl1和l2斜交答案B解析由sin()a知，sincoscossina，ycosxsina，即xsinycosa，斜率为tank1.又k2tan，k1k21，两直线垂直5下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的图形的是()A65cosB65sinC65cosD65sin答案D解析由图可知，当时，最大，所以应该是65sin.6下列结论中不正确的是()A.与关于极轴对称B.与关于极点对称C.与关于极轴对称D.与关于极点对称答案D解析与是同一个点，因此D不正确二、填空题7直线2cos1与圆2cos相交的弦长为_答案解析直线2cos1可化为2x1，即x，圆2cos，两边同乘以得22cos，化为直角坐标方程是x2y22x，即(x1)2y21，其圆心为(1,0)，半径为1，弦长为2.8在极坐标系中，P是曲线12sin上的动点，Q是曲线12cos上的动点，则|PQ|的最大值为_答案18解析12sin，212sin，x2y212y0，即x2(y6)236.又12cos，212，x2y26x6y0.(x3)2(y3)236，|PQ|max6618.9在极坐标系中，曲线2sin与cos1的交点的极坐标为_答案解析2sincos1，即sin21.2，即，2sin.10在极坐标系中，直线cossin10与圆2cos0交于A，B两点，则|AB|_.答案2解析xcos，ysin，直线的直角坐标方程为xy10，由2cos0，得2cos，22cos，又2x2y2，x2y22x，圆的直角坐标方程为(x1)2y21，又圆心(1,0)在直线上，AB为圆的直径，|AB|2.三、解答题11已知定点A(a,0)，动点P对极点O和点A的张角OPA.在OP的延长线上取点Q，使|PQ|PA|.当P在极轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程解设Q，P的坐标分别是(，)，(1，1)，则1，在POA中，1sin，|PA|，又|OQ|OP|PA|，2asin.12从极点O作直线与另一直线l：cos4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|OP|12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值解(1)由题意可设动点P的坐标为(，)，M的坐标为(0，)，由|OM|OP|12，得012.点M在直线l上，0cos4，3cos，即点P的轨迹方程为3cos.(2)将3cos化为直角坐标方程，得x2y23x，即2y2.易知点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆直线l的直角坐标方程是x4.结合图形(图略)易知|RP|的最小值为1.13在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积解(1)由xcos，ysin，得C1的极坐标方程为cos2，C2的极坐标方程为22cos4sin40.(2)将代入22cos4sin40，得2340，解得12，2，故|12|，即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形，故其面积为11.四、探究与拓展14如果直线与直线l关于极轴对称，那么直线l的极坐标方程是_答案解设M(，)是直线l上的任意一点，则M(，)关于极轴的对称点M(，)必在直线上，即.15已知如图点O为极点，OR为圆acos的弦，在直线OR上取点P和点Q，使得|RP|RQ|a，当点R在圆上移动时，试求点P和点Q的轨迹方程解设P(，)，R(0，0)，则0，0a，R在圆acos上，即0acos0，aacos，即acosa.设Q(，)，R(0，0)则0，0a，aacos，即acosa.点P的轨迹方程为acosa，点Q的轨迹方程为acosa.
展开阅读全文