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单元检测三导数及其应用(提升卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共4页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间100分钟，满分130分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列求导运算正确的是()A.1B(log3x)C(3x)3xln3D(x2sinx)2xcosx答案C解析由求导法则可知C正确2已知函数f(x)lnxx2f(a)，且f(1)1，则实数a的值为()A或1B.C1D2答案C解析令x1，则f(1)ln1f(a)1，可得f(a)1.令xa0，则f(a)2af(a)，即2a2a10，解得a1或a(舍去)3若函数f(x)xex的图象的切线的倾斜角大于，则x的取值范围是()A(，0) B(，1)C(，1 D(，1)答案B解析f(x)exxex(x1)ex，又切线的倾斜角大于，所以f(x)0，即(x1)ex0，解得x0，由f(x)0，即4x210，解得x.故选C.5函数f(x)的部分图象大致为()答案C解析由题意得f(x)为奇函数，排除B；又f(1)0时，f(x)，所以f(x)，函数f(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增，排除D.6若函数f(x)lnxax22在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是()A(，2 B.C.D(2，)答案D解析对f(x)求导得f(x)2ax，由题意可得2ax210在内有解，所以amin.因为x，所以x2，所以a2.7.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()f(b)f(a)f(c)；函数f(x)在xc处取得极小值，在xe处取得极大值；函数f(x)在xc处取得极大值，在xe处取得极小值；函数f(x)的最小值为f(d)ABCD答案A解析由导函数的图象可知函数f(x)在区间(，c)，(e，)内，f(x)0，所以函数f(x)在区间(，c)，(e，)内单调递增，在区间(c，e)内，f(x)f(a)，所以错；函数f(x)在xc处取得极大值，在xe处取得极小值，故错，对；函数f(x)没有最小值，故错8由直线y0，xe，y2x及曲线y所围成的封闭图形的面积为()A32ln2B3C2e23De答案B解析S2xdxdxx22lnx3，故选B.9已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若函数f(x)x3bx2(a2c2ac)x1有极值点，则sin的最小值是()A0BC.D1答案D解析因为f(x)x3bx2(a2c2ac)x1，所以f(x)x22bxa2c2ac.又因为函数f(x)x3bx2(a2c2ac)x1有极值点，所以关于x的方程x22bxa2c2ac0有两个不同的实数根，所以(2b)24(a2c2ac)0，即aca2c2b2，即ac2accosB，即cosB0，则实数a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)答案C解析易知a0，所以f(x)为一元三次函数因为f(x)3ax26x3x(ax2)，所以方程f(x)0的根为x10，x2.又注意到函数f(x)的图象经过点(0,1)，所以结合一元三次函数的图象规律及题意可知，函数f(x)的图象应满足下图，从而有即解得a0得y2，令y20，x0，解得x2，y2在(0,2)上单调递增，在(2，)上单调递减，作出示意图如下，当x2时，y12ln2，y2.2ln2，y1xlnx与y2的交点在(1,2)内，函数f(x)的最大值为.12已知f(x)是偶函数，且f(x)在0，)上是增函数，如果f(ax1)f(x2)在x时恒成立，则实数a的取值范围是()A2,1B5,0C5,1D2,0答案D解析因为f(x)是偶函数，且在0，)上是增函数，如果f(ax1)f(x2)在x时恒成立，则|ax1|x2|，即x2ax12x.由ax12x，得ax1x，a1，而g(x)1在x1时取得最小值0，故a0；同理，当x2ax1时，a1.而h(x)1在x1处取得最大值2，所以a2，所以a的取值范围是2,0第卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13dxdx_.答案21解析因为dxlnx|lneln11，又dx的几何意义表示为y对应上半圆的面积，即dx222，所以dxdx21.14已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件答案9解析yx381x234，yx281，令y0，得0x9，令y9，函数yx381x234在区间(0,9)上是增函数，在区间(9，)上是减函数，函数在x9处取得极大值，也是最大值故使该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件15(2018深圳调研)设实数0，若对任意的x(0，)，不等式ex0恒成立，则的最小值为_答案解析当x(0,1时，0，不等式ex0显然成立，可取任意正实数；当x(1，)时，ex0exlnxxexlnxelnx，设函数f(x)xex(x0)，而f(x)(x1)ex0，则f(x)在(0，)上单调递增，那么由xexlnxelnx可得xlnx.令g(x)(x1)，而g(x)，易知函数g(x)在(1，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，那么g(x)maxg(e)，则有.综上分析可知，的最小值为.16对于定义在R上的函数f(x)，若存在非零实数x0，使函数f(x)在(，x0)和(x0，)上均有零点，则称x0为函数f(x)的一个“折点”现给出下列四个函数：f(x)3|x1|2；f(x)lg|x2019|；f(x)x1；f(x)x22mx1(mR)则存在“折点”的函数是_(填序号)答案解析因为f(x)3|x1|22，所以函数f(x)不存在零点，所以函数f(x)不存在“折点”；对于函数f(x)lg|x2019|，取x02019，则函数f(x)在(，2019)上有零点x2020，在(2019，)上有零点x2018，所以x02019是函数f(x)lg|x2019|的一个“折点”；对于函数f(x)x1，则f(x)x21(x1)(x1)令f(x)0，得x1或x1；令f(x)0，得1x1，所以函数f(x)在(，1)和(1，)上单调递增，在(1，1)上单调递减又f(1)0，所以函数f(x)只有一个零点，所以函数f(x)x1不存在“折点”；对于函数f(x)x22mx1(xm)2m21，由于f(m)m211，结合图象(图略)可知该函数一定有“折点”综上，存在“折点”的函数是.三、解答题(本题共4小题，共50分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)(2019宁夏银川一中月考)设f(x)x3x.(1)求曲线在点(1,0)处的切线方程；(2)设x1,1，求f(x)的最大值解(1)f(x)3x21，切线斜率f(1)2，切线方程y2(x1)，即2xy20.(2)令f(x)3x210，x，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x11f(x)00f(x)0极大值极小值0故当x时，f(x)max.18(12分)已知函数f(x)2xalnx，aR.(1)若函数f(x)在区间1，)内单调递增，求实数a的取值范围；(2)记函数g(x)x2f(x)2x2，若g(x)的最小值是6，求函数f(x)的解析式解(1)由题意知f(x)20在区间1，)内恒成立，所以a2x在区间1，)内恒成立令h(x)2x，x1，)，因为h(x)20.因为g(x)6x2a，当a0时，g(x)0恒成立，所以g(x)在区间(0，)内单调递增，无最小值，不合题意，所以a0.令g(x)0，则x或x(舍去)，由此可得函数g(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增，则x是函数g(x)的极小值点，也是最小值点，所以g(x)ming(x)极小值g6，解得a6，所以f(x)2x6lnx.19(13分)已知函数f(x)lnxx，g(x)ax22x(a0)(1)求函数f(x)在区间上的最值；(2)求函数h(x)f(x)g(x)的极值点解(1)依题意，f(x)1，令10，解得x1.因为f(1)1，f1，f(e)1e，且1e10)，h(x)2ax1，当a0，所以h(x)，其中x1，x2.因为a0，所以x10，所以当0x0；当xx2时，h(x)0，所以函数h(x)在区间(0，x2)内是增函数，在区间(x2，)内是减函数，故x2为函数h(x)的极大值点，无极小值点20(13分)已知函数f(x)lnxmex的图象在点(1，f(1)处的切线与直线l：x(1e)y0垂直，其中e为自然对数的底数(1)求实数m的值及函数f(x)在区间1，)内的最大值；(2)求证：函数f(x)有且仅有一个极值点；求证：f(x)x22x1.(1)解由题意得f(x)mex，直线l：x(1e)y0的斜率为，故函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为1e；即f(1)1me1e，所以m1.当x1，)时，f(x)ex单调递减，即f(x)f(1)1e0，所以f(x)在区间1，)内单调递减，所以当x1，)时，f(x)maxf(1)ln1ee.(2)证明f(x)ex，令h(x)f(x)，则h(x)ex0，h(1)1e0，故f(x)单调递增；当x(x0，)时，h(x)0，故f(x)单调递减，所以函数f(x)在xx0处取得唯一的极大值点，即函数f(x)有且仅有一个极值点由知f(x)ex在区间(0，)内为减函数，又f(1)1e0，因此存在实数x0满足方程f(x)ex0，此时f(x)在区间(0，x0)内为增函数，在区间(x0，)内为减函数，且f(x0)0，由此得到，x0lnx0.由单调性知f(x)maxf(x0)lnx0x0，又x0，故2，所以f(x)max2.又x22x1(x1)222，所以f(x)x22x1.
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