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第三章 平面任意力系 平面任意力系向作用面内一点的简化平面任意力系的平衡条件和平衡方程物体系统的平衡 静定和超静定问题平面简单桁架的内力计算 1 力的平移定理 定理 可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B 但必须同时附加一个力偶 这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩 力线平移定理的逆步骤 亦可把一个力和一个力偶合成一个力 一 平面任意力系向作用面内一点简化 提问 若刚体上有n个杂乱分布的力 现在要把这些力全部平移到一个共同的作用点 会得到什么结果 说明 力的平移定理应用 1 为什么钉子有时会折弯 2 乒乓球为什么会旋转 3 船上人划浆 MO 2 平面任意力系向一点简化 主矢与主矩 2 平面任意力系向一点简化 主矢与主矩 FR 主矢 作用在简化中心 但与简化中心的位置无关 MO主矩 作用在该平面上 与简化中心的位置有关 平面任意力系 平面汇交力系 平面力偶系 其中 平面汇交力系的合成结果为一个合力 平面力偶系的合成结果为一个合力偶 原力系的 主矢 原力系对O点的 主矩 其中 主矢的大小和方向 2 平面任意力系向一点简化 主矢与主矩 主矩的大小 2 平面任意力系向一点简化 主矢与主矩 平面任意力系向作用面内任一点O简化 可得一个力和一个力偶 这个力称为原力系的主矢 作用线通过简化中心O 这个力偶的矩称为原力系对于点O的主矩 主矢与简化中心的位置无关 主矩和简化中心的位置有关 总结 平面任意力系向某点简化的结论如下 3 平面任意力系简化结果分析 四种情况 1 F R 0 MO 0 2 F R 0 MO 0 3 F R 0 MO 0 4 F R 0 MO 0 1 平面任意力系简化为一个力偶的情形 原力系合成为合力偶 合力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩 此时主矩与简化中心的位置无关 四个力是否平衡 见P31 F R 0 MO 0 2 平面任意力系简化为一个合力的情形 合力矩定理 如果主矩等于零 主矢不等于零 则此时平面力系简化为一合力 作用线恰好通过简化中心 如果主矢和主矩均不等于零 此时还可进一步简化为一合力 但其作用线不过简化中心 如图 d FR FR MO 3 平面任意力系简化结果分析 结论 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各分力对同一点的矩的代数和 这就是平面任意力系的合力矩定理 FR 从图中可以看出 所以 由主矩的定义知 3 平面任意力系简化结果分析 例1 在长方形平板的O A B C点上分别作用着有四个力 F1 1kN F2 2kN F3 F4 3kN 如图 试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果 以及该力系的最后合成结果 对O点和对B点的简化结果 以此说明任意力系的简化结果中主矢与简化中心无关 而主矩是有关的 见书上思考题4 3 F1 F2 F3 F4 O A B C x y 2m 3m 30 60 求向O点简化结果 解 建立如图坐标系xOy 所以 主矢的大小 1 求主矢 2 求主矩MO 主矢的方向 最后合成结果 由于主矢和主矩都不为零 所以最后合成结果是一个合力FR 如图所示 合力FR到O点的距离 二 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 1 平衡条件 平面任意力系平衡的必要与充分条件是 力系的主矢和对任一点的主矩都等于零 即 2 平衡方程 即 平面任意力系平衡的解析条件是 力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零 所有各力对任一点之矩的代数和等于零 上式称为平面任意力系的平衡方程 由于 所以 二 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 1 二矩式 其中A B两点的连线AB不能垂直于投影轴x 由后面两式知 力系不可能简化为一力偶 只能简化为过A B两点的一合力或处于平衡 再加第一条件 若AB连线不垂直于x轴 或y轴 则力系必平衡 3 平衡方程的其它形式 2 三矩式 其中A B C三点不能在同一条直线上 注意 以上格式分别有三个独立方程 只能求出三个未知数 由前面两式知 力系不可能简化为一力偶 只能简化为过A B两点的一合力或处于平衡 再加第三条件 力系只能简化为过A B C三点的一合力或处于平衡 若三点不在同一直线上 则力系必平衡 例2 例2 求图示梁的支座反力 解 以梁为研究对象 受力如图 解之 得 P q m FB FAy FAx 解 简支梁受力如图所示 代入 1 式 例4 已知 P 20kN m 16kN m q 20kN m a 0 8m 求 A B的支反力 解 研究AB梁 解得 例5 如图所示为一悬臂梁 A为固定端 设梁上受强度为q的均布载荷作用 在自由端B受一集中力F和一力偶M作用 梁的跨度为l 求固定端A的约束力 2 列平衡方程 3 解方程 1 取梁为研究对象 受力分析如图 解 例3 例6 悬臂吊车如图所示 横梁AB长l 2 5m 重量P 1 2kN 拉杆CB的倾角a 30 质量不计 载荷Q 7 5kN 求图示位置a 2m时 拉杆的拉力和铰链A的约束反力 例3 解 取横梁AB为研究对象 P Q FB FAy FAx a a 从 3 式解出 代入 1 式解出 代入 2 式解出 力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系 平面平行力系作为平面任意力系的特殊情况 当它平衡时 也应满足平面任意力系的平衡方程 选如图的坐标 则 Fx 0自然满足 于是平面平行力系的平衡方程为 平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式 其中AB连线不能与各力的作用线平行 4 平面平行力系的平衡方程 F2 F1 F3 Fn 例7 已知 塔式起重机P 700kN W 200kN 最大起重量 尺寸如图 求 保证满载和空载时不致翻倒 平衡块Q 当Q 180kN时 求满载时轨道A B给起重机轮子的反力 限制条件 解 首先考虑满载时 起重机不向右翻倒的Q 空载时 W 0 由 限制条件为 解得 因此保证空 满载均不倒 Q应满足如下关系 解得 求当Q 180kN 满载W 200kN时 NA NB为多少 由平面平行力系的平衡方程可得 解得 补充 平行力的合成与分解 1 如图 a 所示的同向平行力 两个同向平行力的合力 R 的大小等于两分力大小之和 合力作用线与分力平行 合力方向与两分力方向相同 合力作用点在两分力作用点的连线上 合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比 如图 a 有 2 如图 a 所示的反向平行力 两个反向平行力的合力 R 的大小等于两分力大小之差 合力作用线仍与分力平行 合力方向与较大的分力方向相同 合力的作用点在两分力作用点连线的延长线上 在较大力的外侧 它到两分力作用点的距离与两分力大小成反比 如图 b 有 三 物体系的平衡 静定和超静定问题 1 静定问题2 静不定问题 超静定问题3 如何判断 如何求解 回忆各类平衡力系中独立静平衡方程的数目 在静力学中求解物体系统的平衡问题时 若未知量的数目不超过独立平衡方程数目 则由刚体静力学理论 可把全部未知量求出 这类问题称为静定问题 若未知量的数目多于独立平衡方程数目 则全部未知量用刚体静力学理论无法求出 这类问题称为静不定问题或超静定问题 而总未知量数与总独立平衡方程数之差称为静不定次数 三 物体系的平衡 静定和超静定问题 静不定问题在强度力学 材力 结力 弹力 中用位移谐调条件来求解 但在静力学中关键在于研究对象的选取 静定 未知数三个 静不定 未知数四个 判断各图的超静定次数 以上讨论的都是单个物体的平衡问题 下面就来介绍有关物体系的平衡问题 由若干个物体通过约束所组成的系统称为物体系统 简称物系 外界物体作用于系统的力称该系统的外力 系统内各物体间相互作用的力称该系统的内力 当整个系统平衡时 系统内每个物体都平衡 反之 系统中每个物体都平衡 则系统必然平衡 而对于物体系统的平衡问题 其要点在于如何正确选择研究对象 一旦确定了研究对象 则计算步骤与单个物体的计算步骤完全一样 因此 当研究物体系统的平衡时 研究对象可以是整体 也可以是局部 也可以是单个物体 三 物体系的平衡 静定和超静定问题 下面举例讲解如何正确选择研究对象的问题 系统平衡局部必平衡 例8 图示的人字形折梯放在光滑地面上 重P 800N的人站在梯子AC边的中点H C是铰链 已知AC BC 2m AD EB 0 5m 梯子的自重不计 求地面A B两处的约束反力和绳DE的拉力 75 75 解 1 先取梯子整体为研究对象 受力图及坐标系如图所示 由 MA F 0 得 FB AC BC cos75 P ACcos75 2 0 解得FB 200N 由 Fy 0 FA FB P 0 解得FA 600N 2 为求绳子的拉力 取其所作用的杆BC为研究对象 受力图如图所示 由 MC F 0 得 FB BC cos75 FE EC sin75 0 解得FE 71 5N FD 71 5N 例9 求图示结构的支座反力 1 受力分析 画物体系统的受力图和关键构件的受力图 由 MB 0 2 选择BC杆为研究对象 由 Fy 0 由 Fx 0 由 Fy 0 由 MA 0 3 选择AB杆为研究对象 注意作用与反作用关系 所以 例6 例10 求图示多跨静定梁的支座反力 解 先以CD为研究对象 受力如图 再以整体为研究对象 受力如图 FCx FCy FD q F FAx FAy FD FB q 解得 例4 例11 组合结构如图所示 求支座反力和各杆的内力 解 先以整体为研究对象 受力如图 解之得 FD FAx FAy F1 F2 F3 C x y 45 例4 再以铰链C为研究对象 受力如图 建立如图坐标 例7 例12 求图示结构固定端的约束反力 解 先以BC为研究对象 受力如图 再以AB部分为研究对象 受力如图 求得 FB M FC F B FAy q F MA FAx 例9 例13 图示结构 各杆在A E F G处均为铰接 B处为光滑接触 在C D两处分别作用力P1和P2 且P1 P2 500N 各杆自重不计 求F处的约束反力 解 先以整体为研究对象 受力如图 解得 P1 P2 FAx FAy FB 再以DF为研究对象 受力如图 解得 最后以杆BG为研究对象 受力如图 解得 P2 FEy FFy FFx FEx FGy FB FGx F Fy F Fx 例5 例14 求图示三铰刚架的支座反力 解 先以整体为研究对象 受力如图 可解得 FAx FAy FBx FBy 例5 再以AC杆为研究对象 受力如图 解得 FAx FAy FCx FCy 4 18 4 19 4 20 4 21 已知AB L 线性分布载荷的载荷集度为q 补充 线性分布载荷的简化 合力的大小 方向 作用线的位置 结论 合力的方向同于载荷集度的方向 合力的大小等于分布载荷图的面积 合力的作用线过分布载荷图的几何中心 物体的几何中心是质量分布均匀的物体的质心 即重心 也称为形心 例如 三角形三条中线的交点 三角形的重心 就是这三角形的几何中心 物体重心位置及确定物体的重心位置 质量均匀分布的物体 均匀物体 重心的位置只跟物体的形状有关 有规则形状的物体 它的重心就在几何中心上 例如 均匀细直棒的中心在棒的中点 均匀球体的重心在球心 均匀圆柱的重心在轴线的中点 不规则物体的重心 可以用悬挂法来确定 物体的重心 不一定在物体上 例12 例15 两根铅直梁AB CD与水平梁BC铰接 B C D均为光滑铰链 A为固定支座 各梁的长度均为l 2m 受力情况如图所示 已知水平力F 6kN M 4kN m q 3kN m 求固定端A及铰链C的约束反力 M RBy RBx RCx RCy 解 1 取BC分析 求得结果为负说明与假设方向相反 例12 2 取CD分析 F F Cx F Cy FDx FDy 求得结果为负说明与假设方向相反 例12 M q0 FCx FCy FAy MA FAx 3 取AB BC分析 求得结果为负说明与假设方向相反 即为顺时针方向 例10 例16 三根等长同重均质杆 重W 如图在铅垂面内以铰链和绳EF构成正方形 已知 E F是AB BC中点 AB水平 求绳EF的张力 解法一 取AB分析 受力如图 不妨设杆长为l 再以整体为研究对象 受力如图 RBy RBx RAx RAy W FT W W W RAx RAy RDx RDy 例10 最后以DC为研究对象 受力如图 联立求解 1 2 3 得 RCy RCx RDx RDy W 解法二 先以BC为研究对象 受力如图 再以DC为研究对象 受力如图 R Cx R Cy R Bx R By W F T 联立求解 4 5 6 即可的同样结果 最后以整体为研究对象 受力如图 例11 例6 三无重杆AC BD CD如图铰接 B处为光滑接触 ABCD为正方形 在CD杆距C三分之一处作用一垂直力P 求铰链E处的反力 解 先以整体为研究对象 受力如图 解得 P RAx RAy NB 例11 下面用不同的方法求铰链E的受力 方法1 先以DC为研究对象 再以BDC为研究对象 类似地 亦可以DC为研究对象 求FDy 再以ACD为研究对象求解 RDx RDy RCx RCy NB REx REy RCx RCy 例11 方法2 分别以ACD和AC为研究对象 联立求解以上两方程即得同样结果 类似地 亦可以BDC和BD为研究对象 进行求解 R Ex R Ey RDx RDy RAx RAy RAx RAy R Ex R Ey R Cx R Cy 例11 方法3 分别以BD和AC为研究对象 受力如图 用RE1 RE2表示的约束反力和用FEx FEy表示的约束反力本质上是同一个力 RAx RAy R Ex R Ey R E2 R E1 R Dx R Dy RE2 RE1 NB x 1 2 3 4 E A C B D 例13 例8 编号为1 2 3 4的四根杆件组成平面结构 其中A C E为光滑铰链 B D为光滑接触 E为中点 各杆自重不计 在水平杆2上作用一铅垂向下的力F 试证明无论力F的位置x如何改变 其竖杆1总是受到大小等于F的压力 F 解 本题为求二力杆 杆1 的内力FA1或FC1 为此先取杆2 4及销钉A为研究对象 受力如图 F RA1 REy REx RND b 上式中FND和FNB为未知量 必须先求得 为此再分别取整体和杆2为研究对象 RNB 例13 F RAy RAx 取整体为研究对象 受力如图 RNB x 取水平杆2为研究对象 受力如图 代入 a 式得 FA1为负值 说明杆1受压 且与x无关 F RND RCy RCx 例14 习题3 32 F2 F1 A B C D 4 5 4 5 3 4 2 2 例9 构架尺寸如图所示 尺寸单位为m 不计各杆件自重 载荷F1 120kN F2 75kN 求AC及AD两杆所受的力 S CD RAx RAy S AD 解 1 取三角形ABC分析 其中A C处应带有销钉 CD杆受压力 教材参考答案是87 5kN 例14 习题3 32 F2 F1 A B C D 4 5 4 5 3 4 2 2 F1 FBx FBy FCA FCD 2 取BC分析 注意在C处应带有销钉 本章结束