理论力学17.碰撞.ppt

第五篇动力学专题 理论力学 动力学 在第三篇中我们研究了动力学的几个定理 以及一些简单动力学问题的求解方法 由于实际工程问题往往很复杂 在研究这些问题时 除了分析 抽象出合适的力学模型以外 还必须根据实际情况作出一些必要的假设 使所得到的力学模型简化 便于求解 本篇以碰撞和单自由度系统的振动为例 说明工程具体问题的分析和处理方法 以便进一步理解 掌握理论力学的基本理论和基本方法 引言 第十三章碰撞 理论力学 动力学 在前面讨论的问题中 物体在力的作用下 运动速度都是连续地 逐渐地改变的 本章研究另一种力学现象 碰撞 物体发生碰撞时 会在非常短促的时间内 运动速度突然发生有限的改变 本章研究的主要内容有碰撞现象的特征 用于碰撞过程的基本定理 碰撞过程中的动能损失 撞击中心 13 1概述 13 2两物体的对心碰撞 13 3刚体的偏心碰撞 13 4碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心小结 第十三章碰撞 动力学 13 1概述 2 碰撞现象的基本特征 物体的运动速度或动量在极短的时间内发生有限的改变 碰撞时间之短往往以千分之一秒甚至万分之一秒来度量 因此加速度非常大 作用力的数值也非常大 1 碰撞 运动着的物体在突然受到冲击 包括突然受到约束或解除约束 时 其运动速度发生急剧的变化 这种现象称为碰撞 3 碰撞力 瞬时力 在碰撞过程中出现的数值很大的力称为碰撞力 由于其作用时间非常短促 所以也称为瞬时力 一 碰撞及碰撞力 动力学 设榔头重10N 以v1 6m s的速度撞击铁块 碰撞时间 1 1000s 碰撞后榔头以v2 1 5m s的速度回跳 求榔头打击铁块的力的平均值 的投影形式得 碰撞力的变化大致情况如图所示 平均打击力 是榔头重的765倍 以榔头打铁为例说明碰撞力的特征 以榔头为研究对象 根据动量定理 动力学 可见 即使是很小的物体 当运动速度很高时 瞬时力可以达到惊人的程度 有关资料介绍 一只重17 8N的飞鸟与飞机相撞 如果飞机速度是800km h 对现代飞机来说 这只是中等速度 碰撞力可高达3 56 105N 即为鸟重的2万倍 这是航空上所谓 鸟祸 的原因之一 害的一面 鸟祸 机械 仪器及其它物品由于碰撞损坏等 利的一面 利用碰撞进行工作 如锻打金属 用锤打桩等 研究碰撞现象 就是为了掌握其规律 以利用其有利的一面 而避免其危害 动力学 1 在碰撞过程中 重力 弹性力等普通力与碰撞力相比小得多 其冲量可以忽略不计 但必须注意 在碰撞前和碰撞后 普通力对物体运动状态的改变作用不可忽略 2 由于碰撞时间极短 而速度又是有限量 所以物体在碰撞过程的位移很小 可以忽略不计 即认为物体在碰撞开始时和碰撞结束时的位置相同 4 两个基本假设 二 碰撞过程与恢复系数 两物体碰撞时 碰撞物体表面在接触点的公法线称为碰撞线 如果碰撞时两物体的质心都位于碰撞线上则称为对心碰撞 物体的质心不在碰撞线上的碰撞则称为偏心碰撞 1 碰撞过程 动力学 请看动画 动力学 设一小球 可视为质点 沿铅直方向落到水平的固定平面上 如图所示 请看动画 动力学 第一阶段 开始接触至变形达到最大 该阶段中 小球动能减小 变形增大 即变形阶段 碰撞过程分为两个阶段 第二阶段 由弹性变形开始恢复到脱离接触 该阶段中 小球动能增大 变形 弹性 逐渐恢复 即恢复阶段 动力学 第一阶段 设碰撞冲量为 则应用冲量定理在y轴投影式 第二阶段 设碰撞冲量为 则 2 恢复系数 对于给定材料 v 与 v 的比值是不变的 该比值称为恢复系数 由实验测定 动力学 一般0 k 1 各种材料的恢复系数 可查阅书中表 k 1理想情况 完全弹性碰撞 k 0极限情况 非弹性碰撞或塑性碰撞 或 式中v1 v2和v1 v2 分别是两物体碰撞前后的速度 动力学 三 碰撞时的动力学基本定理 在理论力学中 我们关心的主要是由于碰撞冲量的作用而使物体运动速度发生的变化 因此 动量定理和动量矩定理就成了研究碰撞问题的主要工具 1 用于碰撞过程的动量定理 冲量定理 设质点的质量为m 碰撞开始时的速度 结束瞬时的速度 碰撞冲量 不计普通力的冲量 则质点动量定理的积分形式为 动力学 对于有n个质点组成的质点系 将作用于第i个质点上的碰撞冲量分为外碰撞冲量和内碰撞冲量 则有 将这n个方程相加 且 内碰撞冲量总是成对出现的 故 冲量定理 设质点系总质量M 分别为碰撞结束和碰撞开始时质心的速度 则利用质心运动定理 上式可写成 动力学 碰撞时质点系动量的改变等于作用在质点系上所有外碰撞冲量的矢量和 由假设 2 知 碰撞过程中 质点的矢径保持不变 则有 以上三式都写成投影形式 形式上与普通的动量定理相同 所不同的是在这里都不计普通力的冲量 2 用于碰撞过程的动量矩定理 冲量矩定理 而 为碰撞始末时质点对O点的动量矩 是碰撞冲量对O点的矩 所以 动力学 碰撞时 质点对任一固定点动量矩的改变 等于作用于该质点的碰撞冲量对同一点之矩 对于质点系 由于内碰撞冲量对任一点的矩之和等于零 于是有 冲量矩定理 上式也可写成投影形式 且式中均不计普通力的冲量矩 在碰撞过程中 质点系对任一固定点的动量矩的改变 等于作用于质点系的外碰撞冲量 对同一点之矩的矢量和 对心碰撞 碰撞时两物体质心的连线与接触点公法线重合 动力学 13 2两物体的对心碰撞 对心正碰撞与对心斜碰撞 碰撞时两质心的速度也都沿两质心连线方向 则称为对心正碰撞 正碰撞 否则称为对心斜碰撞 斜碰撞 动力学 一 两球的对心正碰撞 例如 两物体碰撞碰撞前 碰撞结束 沿质心连线 分析碰撞结束时两质心的速度 1 碰撞后的速度 动力学 研究对象 两物体组成的质点系 由冲量定理 得 分析 列出补充方程 分别以两物体为研究对象 应用动量定理可得出 具体地对于第一阶段 对于第二阶段 动力学 对于两物体正碰撞的情况 恢复系数等于两物体在碰撞结束与碰撞开始时 质心的相对速度大小的比值 联立 1 2 式 解得 对于完全弹性碰撞 k 1 碰撞后两物体交换速度 动力学 对于塑性碰撞 k 0 对于一般情况 0 k 1 2 正碰撞过程中的动能损失碰撞开始 碰撞结束 则动能损失 动力学 由正碰撞结束时两质心的速度公式知 代入上式中 得 动力学 系统动能没有损失 可以利用机械能守恒定律求碰撞后的速度 或 塑性碰撞时损失的动能等于速度损耗的动能 1 对于完全弹性碰撞 k 1 2 对于塑性碰撞 k 0 若v2 0 则 3 对于弹性碰撞 0 k 1 恒为正值 例1打桩机 锤 m1 下落高度h 桩 m2 下沉 两者塑性碰撞 求碰撞后桩的速度和泥土对桩的平均阻力 动力学 解 碰撞开始时 锤速 桩速塑性碰撞后 根据动能定理 计算下沉 过程中 泥土对桩的平均阻力R 动力学 由于右端前两项远比第三项小 往往可以略去 于是上式可写为 动力学 例2汽锤锻压金属 汽锤m1 1000kg 锤件与砧块总质量m2 15000kg 恢复系数k 0 6 求汽锤的效率 若将锻件加热 可使k减小 当达到一定温度时 可使锤不回跳 此时可近似认为k 0 于是汽锤效率 解 汽锤效率定义为 二 两球的对心斜碰撞 两球组成一质点系 因不受外碰撞冲量作用 故碰撞前后的动量相等 碰撞前后两者各自的动量在公切线方向分别相等 从而有 根据定义 可得 和 式中 和 分别为速度 和 在公法线方向的投影 例小球与固定面作斜碰撞 设碰撞前后小球速度方向与固定面法线间的夹角分别为 且固定面光滑 试计算其恢复系数 解 因固定面光滑 故 速度的投影 故有 即 例球A与球B大小相同质量相等 高度h 1m 沿绳索的方向自由落下 撞击球B 设两球为光滑完全弹性碰撞 求碰撞后两球的速度 解 碰撞前球A的速度 球B处于静止 其速度 13 3刚体的偏心碰撞 如果刚体具有质量对称平面 碰撞前刚体平行于此平面运动 当碰撞冲量也作用在对称平面内时 碰撞结束后 刚体将仍然保持在此平面内运动 根据 可得 即刚体平面运动微分方程的积分形式 可用于解决刚体平面运动的碰撞问题 例飞机着陆时 水平速度v 40m s 经过t 0 1s后 轮子开始滚而不滑 设轮子半径为R 800mm 平均变形为 转动惯量 不考虑铅垂方向的运动 并设碰撞是塑性的 求此时摩擦力F的平均值 解 轮胎由碰撞前的平动改变为碰撞后的平面运动 有 平均摩擦力为 假定t秒内飞机水平速度未有显著变化 近似地有 则 例均质立方体质量m 边长a 以匀速沿光滑水平面滑动 在某瞬时棱边A突然碰到小台阶 设碰撞是塑性的 且A处的总碰撞冲量在垂直于棱边并通过物体质心C的平面内 求物体在碰撞后能绕棱边A翻转90 所需的最小速度 解 先求碰撞后物体的角速度 然后求物体翻转90 所需的初角速度 最终求得 碰撞后物体由平动变为绕定轴转动 碰撞前物体对A的动量矩 碰撞后 碰撞冲量IA对棱边A的矩等于零 故 得 碰撞过程结束时 物体具有绕棱边A转动的角速度 翻转90 后的动能用T表示 由动能定理 其中 于是有 只有当动能T稍大于零 物体才可能向前翻转90 因此 即碰撞前物体的最小速度 例均质杆长l 质量m 与铅垂线成角 在铅垂平面内作平动 当一端A触及水平面时 杆的速度为v0 设碰撞是塑性的 且接触点粗糙足以阻止杆端A的滑动 求碰撞后杆的角速度和杆所受的碰撞冲量 解 碰撞前杆对点A的动量矩等于 碰撞后的动量矩 碰撞前后杆对点A的动量矩相等 即 从而求得 取直角坐标轴有 代入运动学关系 便可求得 由此可确定作用于杆端点A的反力碰撞冲量IA的大小和方向 动力学 13 4碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心 设刚体绕固定轴z转动 转动惯量为IZ 受到外碰撞冲量的作用 碰撞开始时碰撞结束时由冲量矩定理在z轴上的投影式 有 动力学 下面研究碰撞时轴承反力的碰撞冲量的计算及消除条件 设刚体有对称面 绕垂直此平面的固定轴Oz转动 质量M 质心C点且OC a 作用在对称平面内K点 OK l 则有 碰撞时刚体角速度的改变 等于作用于刚体的外碰撞冲量对转轴之矩的代数和除以刚体对该轴的转动惯量 动力学 应用冲量定理 有 于是 若使刚体在轴承处不受碰撞冲量作用 即使 动力学 满足的点k称为撞击中心 欲使转动刚体 具有与转轴垂直的对称面 的轴承处不产生碰撞冲量 必须使碰撞冲量 作用在刚体对称面内 垂直于转轴O与质心C的连线 并作用于撞击中心 则须 撞击中心的概念在实践中有许多应用 动力学 例3 均质杆质量M 长2a 可绕通过O点且垂直于图面的轴转动 如图所示 杆由水平无初速落下 撞到一质量为m的固定物块 设恢复系数为k 求碰撞后杆的角速度 碰撞时轴承的碰撞冲量及撞击中心的位置 解 碰撞开始时 由动能定理 碰撞结束时 求得 动力学 根据冲量定理 得 撞击中心的位置 动力学 2 研究碰撞问题的两个基本假设 1 在碰撞过程中 普通力远远小于碰撞力 可以忽略不计 2 物体在碰撞过程中不发生位移 小结 1 碰撞现象的主要特征 碰撞过程时间极短 碰撞力非常大 它使物体的速度在极短的时间内发生有限的变化 3 研究碰撞问题的两个基本定理是冲量定理和冲量矩定理 4 两物体碰撞的恢复系数k等于碰撞结束和开始时 两物体接触点沿公法线方向相对速度大小的比值 动力学 当外碰撞冲量作用在刚体的垂直于转轴的对称面内的撞击中心 且垂直于质心与轴心的连线时 可使轴承的反碰撞冲量等于零 0 k 1为弹性碰撞 k 1为完全弹性碰撞 k 0为非弹性碰撞或塑性碰撞 5 在碰撞过程中有动能损失 动能损失的多少取决于恢复系数k值的大小 6 作用于绕定轴转动刚体上的外碰撞冲量将引起刚体角速度的突变 并引起轴承的反碰撞冲量 动力学 第十三章结束