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压轴大题高分练3.解析几何(C组)压轴大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考高分根基!1.如图,抛物线M:过y=x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B,点C是抛物线M上异于点A的点,设G为ABC的重心(三条中线的交点),直线CG交y轴于点D.(1)设点A(x0,x02)(x00),求直线AB的方程.(2)求|OB|OD|的值.【解析】(1)因为y=2x,所以直线AB的斜率k=y=2x0.所以直线AB的方程y-x02=2x0(x-x0),即y=2x0x-x02.(2)由题意得,点B的纵坐标yB=- x02,所以AB中点坐标为x02,0.设C(x1,y1),G(x2,y2),直线CG的方程为x=my+12x0.由x=my+12x0,y=x2,联立得m2y2+(mx0-1)y+ 14x02=0.因为G为ABC的重心,所以y1=3y2.由根与系数的关系,得y1+y2=4y2=1-mx0m2,y1y2=3y22=x024m2.所以 (1-mx0)216m4=x0212m2,解得mx0= -323.所以点D的纵坐标yD= -x02m=x02643,故|OB|OD|=yByD=436.2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(c,0),点P为椭圆C上的动点,若|PF|的最大值和最小值分别为2+3和2-3.(1)求椭圆C的方程.(2)设不过原点的直线l与椭圆C 交于P,Q两点,若直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求OPQ面积的最大值.【解析】(1)由已知得a+c=2+3,a-c=2-3,解得a=2,c=3,椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)设l:y=kx+b(易知l存在斜率,且b0),设P(x1,y1),Q(x2,y2)由条件知kOP kOQ=k2,即k2=y1y2x1x2=(kx1+b)(kx2+b)x1x2=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2x1x2=k2+kb(x1+x2)+b2x1x2.所以kb(x1+x2)+b2x1x2=0,所以x1+x2=-bk.y=kx+b,x24+y2=1, (4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0,因为=(8kb)2-4(4k2+1)(4b2-4)0,所以4k2+1-b20,所以x1+x2=-8kb1+4k2x1x2=4(b2-1)1+4k2联立得:-bk=-8kb1+4k2,所以4k2=1.|PQ|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k244k2+1-b24k2+1=1+1442-b22=10-5b2,点O到直线l的距离d=|b|1+k2=|b|1+14.SOPQ=12|PQ|d=1210-5b2|b|54=|b|2-b2=(2-b2)b2=-(b2-1)2+1,因为4k2=1且4k2+1-b20,所以0b22,所以当b2=1,4k2=1,b=1,k=12,直线l为y=12x1时,OPQ面积的最大值为1.
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