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第4节基本不等式【选题明细表】知识点、方法题号利用基本不等式比较大小、证明2,3利用基本不等式求最值1,4,7,9,11,13基本不等式的实际应用6,12,14基本不等式的综合应用5,8,10基础巩固(时间:30分钟)1.已知f(x)=x+-2(x0),则f(x)有(C)(A)最大值0 (B)最小值0(C)最大值-4 (D)最小值-4解析:因为xlg x(x0)(B)sin x+2(xk,kZ)(C)x2+12|x|(xR)(D)1(xR)解析:当x0时,x2+2=x,所以lg(x2+)lg x(x0),故选项A不正确;当2k-x2k,kZ时,sin x0,sin x+0,n0)过点(1,-2),则+最小值(D)(A)2(B)6(C)12(D)3+2解析:因为直线2mx-ny-2=0(m0,n0)过点(1,-2),所以2m+2n-2=0,即m+n=1,因为+=(+)(m+n)=3+3+2,当且仅当=,即n=m时取等号,所以+的最小值为3+2,故选D.6.(2017河北邯郸一模)已知棱长为的正四面体ABCD(四个面都是正三角形),在侧棱AB上任取一点P(与A,B都不重合),若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a,b,则+的最小值为(C)(A)(B)4(C)(D)5解析:由题意可得, aSBCD+bSACD=hSBCD,其中SBCD=SACD,h为正四面体ABCD的高.h=2,所以a+b=2.所以+= (a+b)( +)= (5+) (5+2)=,当且仅当a=2b=时取等号.故选C.7.设x,yR,且xy0,则(x2+)(+4y2)的最小值为.解析:(x2+)(+4y2)=5+4x2y25+2=9,当且仅当x2y2=时“=”成立.答案:98.(2017洛阳二模)设a0,b0.若是3a与32b的等比中项,则+的最小值为.解析:根据题意,若是3a与32b的等比中项,则有3a+2b=3,则有a+2b=1;则+=(a+2b)( +)=4+(+)4+2=8,当且仅当a=2b=时,等号成立.即+的最小值为8.答案:8能力提升(时间:15分钟)9.若对于任意的x0,不等式a恒成立,则实数a的取值范围为(A)(A),+)(B)(,+)(C)( -,)(D)(-,解析:由x0,=,令t=x+,则t2=2,当且仅当x=1时,t取得最小值2.此时取得最大值,所以对于任意的x0,不等式a恒成立,则a.故选A.10.导学号 38486114(2017揭阳一模)已知抛物线y=ax2+2x-a-1(aR),恒过第三象限上一定点A,且点A在直线3mx+ny+1=0(m0,n0)上,则+的最小值为(B)(A)4(B)12(C)24(D)36解析:抛物线y=ax2+2x-a-1(aR),即y+3=(x+1)(ax-a+2),所以A(-1,-3),所以m+n=,又+=+=6+3(+)6+6=12,当且仅当m=n时等号成立.故选B.11.(2017山东淄博一模)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a0,b0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为(C)(A)4(B)6(C)8(D)9解析:=(a-1,1),=(-b-1,2),因为A,B,C三点共线,所以2(a-1)-(-b-1)=0,化为2a+b=1.又a0,b0,则+=(2a+b)( +)=4+4+2=8,当且仅当b=2a=时取等号.故选C.12.(2017江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.解析:一年的总运费为6=(万元).一年的总存储费用为4x万元.总运费与总存储费用的和为(+4x)万元.因为+4x2=240,当且仅当=4x,即x=30时取得等号,所以当x=30时,一年的总运费与总存储费用之和最小.答案:3013.已知x0,y0,且2x+5y=20.(1)求u=lg x+lg y的最大值;(2)求+的最小值.解:(1)因为x0,y0,所以由基本不等式,得2x+5y=202.即xy10,当且仅当2x=5y时等号成立,此时x=5,y=2,所以u=lg x+lg y=lg(xy)lg 10=1.所以当x=5,y=2时,u=lg x+lg y有最大值1.(2)因为x0,y0,所以+=(+)=(7+)(7+2)=,当且仅当=时等号成立.所以+的最小值为.14.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.解:(1)设污水处理池的宽为x米,则长为米.总造价f(x)=400(2x+)+2482x+80162=1 296x+12 960=1 296(x+)+12 9601 2962+12 960=38 880,当且仅当x=(x0),即x=10时取等号.所以当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,总造价最低为38 880元.(2)由限制条件知所以x16.设g(x)=x+(x16),g(x)在,16上是增函数,所以当x=时(此时=16),g(x)有最小值,即f(x)有最小值,即f(x)min=1 296 (+)+12 960=38 882.所以当污水处理池的长为16米,宽为米时总造价最低,总造价最低为38 882元.
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