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课时分层作业(十八) 空间向量与平行关系(建议用时：40分钟)基础达标练一、选择题1已知直线l的方向向量是a(3,2,1)，平面的法向量是u(1,2，1)，则l与的位置关系是()AlBlCl与相交但不垂直Dl或lD因为au3410，所以au，所以l或l.2已知A(0，y,3)，B(1，2，z)，若直线l的方向向量v(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则yz等于()A3 B0C1D3B由题意，得(1，2y，z3)，则，解得y，z，所以yz0，故选B3已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1) BC DB对于B，则n(3,1,2)0，n，则点P在平面内4若，则直线AB与平面CDE的位置关系是() 【导学号：46342164】A相交B平行C在平面内D平行或在平面内D，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内5若平面，的一个法向量分别为m，n，则()ABC与相交但不垂直D或与重合D因为n3m，所以mn，因此或与重合二、填空题6如图325，在正三棱锥SABC中，点O是ABC的外心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是_，平面SAD的一个法向量可以是_图325，由题意知SO平面ABC，BC平面SAD因此平面ABC的一个法向量可以是，平面SAD的一个法向量可以是.7若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，且a与b为共线向量，则x_，y_.由题意得，x，y.8已知直线l平面ABC，且l的一个方向向量为a(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是_. 【导学号：46342165】3l平面ABC，存在实数x，y，使axy，(1,0，1)，(0,1，1)，(2，m,1)x(1,0，1)y(0,1，1)(x，y，xy)，m3.三、解答题9如图326，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，利用向量法证明：图326(1)MN平面CC1D1D；(2)平面MNP平面CC1D1D证明(1)以D为坐标原点，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)由正方体的性质知AD平面CC1D1D，所以(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量由于(0,1，1)，则0210(1)00，所以.又MN平面CC1D1D，所以MN平面CC1D1D(2)由于(0,2,0)，(0,2,0)，所以，即MPDC由于MP平面CC1D1D，所以MP平面CC1D1D又由(1)，知MN平面CC1D1D，MNMPM，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP平面CC1D1D10.如图327，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由图327解分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0), 设E(0，y，z)，则(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0，(0,2,0)是平面PAB的法向量，(1，y1，z)，由CE平面PAB, 可得，(1，y1，z)(0,2,0)2(y1)0，y1，代入式得z.E是PD的中点，即存在点E为PD中点时，CE平面PAB能力提升练1若a是平面的一个法向量，且b(1,2,1)，c与平面都平行，则向量a等于()ABCDD由题意，知ab0，ac0，即，解得，所以a.2已知(3,1,2)，平面的一个法向量为n(2，2,4)，点A不在平面内，则直线AB与平面的位置关系为()AABBABCAB与相交但不垂直DABD因为n2(3)(2)1420，所以n.又点A不在平面内，n为平面的一个法向量，所以AB，故选D3若A，B，C是平面内的三点，设平面的法向量a(x，y，z)，则xyz_. 【导学号：46342166】23(4)因为，又因为a0，a0，所以解得所以xyzyy23(4)4如图328，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP平面B1AE，则AP的长为_图328建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，设|AB|a，点P坐标为(0,0，b)则B1(a,0,1)，D(0,1,0)，E(a,0,1)，(0，1，b)，DP平面B1AE，存在实数，设即(0，1，b)(a,0,1)b，即AP.5如图329，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?图329解建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，(1，1,0)，(1，1,1)，(2，2，2)设平面PAO的法向量为n1(x，y，z)，则，即令x1，则y1，z2，平面PAO的一个法向量为n1(1,1,2)若平面D1BQ平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量设Q(0,2，c)，则(2,0，c)，n10，即22c0，c1，这时n12240.当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.
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