2018-2019高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.1.2 充分条件和必要条件学案 苏教版选修1 -1.docx

1.1.2充分条件和必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对条件的判断应归结为判断命题的真假.知识点一充分条件与必要条件的概念给出下列命题：(1)若xa2b2，则x2ab；(2)若ab0，则a0.思考1你能判断这两个命题的真假吗？答案(1)真命题，(2)假命题.思考2命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？答案命题(1)中只要满足条件xa2b2，必有结论x2ab；命题(2)中满足条件ab0，不一定有结论a0，还可能b0.梳理命题真假“若p则q”为真命题“若p则q”为假命题推出关系pqpq条件关系p是q的充分条件，q是p的必要条件p不是q的充分条件，q不是p的必要条件知识点二充要条件的概念思考1命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中的条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？答案只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立.思考2若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？答案因为pq且qp，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件.梳理一般地，如果pq，且qp，就记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.知识点三常见的四种条件1.从命题的真假判断充分条件、必要条件和充要条件如果原命题为“若p则q”，逆命题为“若q则p”原命题逆命题条件p与结论q的关系结论真假pq，但qpp是q成立的充分不必要条件假真qp，但pqp是q成立的必要不充分条件真真pq，qp，即pqp是q成立的充要条件假假pq，qpp是q成立的既不充分又不必要条件2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件前提：设集合Ax|x满足p，Bx|x满足q.若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若AB，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件1.若q是p的必要条件，则p是q的充分条件.()2.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.()3.若q不是p的必要条件，则“pq”成立.()类型一充要条件的判断例1判断下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：，q：cos；(2)p：(a2)(a3)0，q：a3；(3)在ABC中，p：ab，q：sinAsinB；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形.考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断解(1)，cos，但cos推不出，p是q的充分不必要条件.(2)由(a2)(a3)0可以推出a2或a3，不一定有a3；由a3可以推出(a2)(a3)0，因此p是q的必要不充分条件.(3)在ABC中，由正弦定理，知ab可以推出sinAsinB，sinAsinB可以推出ab，p是q的充要条件.(4)p是q的既不充分又不必要条件.反思与感悟充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：确定谁是条件，谁是结论.尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件.尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.(2)命题判断法：如果命题：“若p则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件.如果命题：“若p则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件.跟踪训练1设xR，则“3x0”是“|x1|2”的_条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案必要不充分解析3x0x3，|x1|21x3，故“3x0”是“|x1|2”的必要不充分条件.类型二充分条件、必要条件的应用例2已知p：2x10，q：1mx1m(m0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围解p：2x10，q：1mx1m(m0).因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即x|1mx1mx|2x10，故有或解得m3.又m0，所以实数m的取值范围为m|0m3.引申探究1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.解p：2x10，q：1mx1m(m0).因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.所以或解不等式组得m9或m9，所以m9，即实数m的取值范围是9，).2.本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件.解因为p：2x10，q：1mx1m(m0).若p是q的充要条件，则m不存在.故不存在实数m，使得p是q的充要条件.反思与感悟(1)设集合Ax|x满足p，Bx|x满足q，则pq可得AB；qp可得BA；若p是q的充分不必要条件，则AB.(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值.跟踪训练2已知Mx|(xa)21，Nx|x25x240，若M是N的充分条件，求a的取值范围.考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围解由(xa)21，得x22ax(a1)(a1)0，a1xa1.又由x25x240，得3x8.M是N的充分条件，MN，解得2a7.即a的取值范围是2,7.类型三充要条件的证明例3求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.考点充要条件的概念及判断题点充要条件的证明证明充分性：ac0，方程一定有两个不等实根.设两实根为x1，x2，则x1x20，方程的两根异号，即方程ax2bxc0有一正根和一负根.必要性：方程ax2bxc0有一正根和一负根，设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系，得x1x20，即ac0.综上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.引申探究求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.证明必要性：方程ax2bxc0有一个根为1，x1满足方程ax2bxc0，a12b1c0，即abc0，必要性成立.充分性：abc0，cab，代入方程ax2bxc0中，可得ax2bxab0，即(x1)(axab)0，故方程ax2bxc0有一个根为1，充分性成立.因此，关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.反思与感悟(1)证明充要条件，一般是从充分性和必要性两方面进行，此时应特别注意充分性和必要性所推证的内容是什么.(2)要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由条件结论是证充分性，由结论条件是证必要性.跟踪训练3已知数列an的前n项和为Snpnq(p0且p1).求证：数列an为等比数列的充要条件为q1.考点充要条件的概念及判断题点充要条件的证明证明充分性：当q1时，a1p1；当n2时，anSnSn1pn1(p1)，当n1时也成立.所以anpn1(p1)，nN*.又p0，且p1，p，数列an为等比数列.必要性：当n1时，a1S1pq；当n2时，anSnSn1pn1(p1).p0且p1，an为等比数列，p，p，即p1pq，q1.综上所述，q1是数列an为等比数列的充要条件.1.设M1,2，Na2，则“a1”是“NM”的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案充分不必要解析当a1时，N1，此时NM；当NM时，a21或a22，解得a1或1或或.故“a1”是“NM”的充分不必要条件.2.“函数yx22xa没有零点”的充要条件是_.答案a1解析函数没有零点，即方程x22xa0无实根，所以有44a0，解得a1.反之，若a1，则1”是“x1，得x1.又“x21”是“xa”的必要不充分条件，则由“x1”，但由“x21”推不出“x0的一个充分条件是4xp0，解得x2或x2或x1.由4xp0，得B.由题意得BA，即1，即p4，此时由x0，当p4时，“4xp0”的一个充分条件.1.充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断.(2)等价法：“pq”表示p等价于q，要证pq，只需证它的逆否命题非q非p即可；同理要证pq，只需证非q非p即可.所以pq，只需非q非p.(3)利用集合间的包含关系进行判断.2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.一、填空题1.“x1”是“x2x”的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案充分不必要解析由x1可以推出x2x，但x2x推不出x1.2.“ab”是“直线yx2与圆(xa)2(yb)22相切”的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案充分不必要解析圆心为(a，b)，半径r.若ab，则圆心(a，b)到直线yx2的距离dr，所以直线与圆相切.若直线与圆相切，有，则ab或ab4，所以“ab”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.3.“函数f(x)x22ax3在区间1，)上是增函数”是“a2”的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案充分不必要解析函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为xa，当f(x)在1，)上为增函数时，a1，而a1可以推出a2，但a2推不出a1，填充分不必要.4.若“x2axb0”是“x1”的充要条件，则a_，b_.考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围答案21解析易得解得5.下列不等式：x1；0x1；1x0；1x1.其中，可以作为x21的一个充分条件的是_.(填序号)考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案解析由x21，得1x1，故都可作为x2b”是“3a3b”的充分不必要条件；“”是“cosb”是“3a3b”的充要条件，故错误；2，则cos2cos，推不出coscos；coscos，cos，“”是“coscos”的既不充分又不必要条件，故错误；“a0”是“函数f(x)x3ax2(xR)为奇函数”的充要条件，正确.8.给定两个条件p，q.若非p是q的必要不充分条件，则p是非q的_条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案充分不必要解析q非pp非q.9.不等式(ax)(1x)0成立的一个充分不必要条件是2x1，则a的取值范围为_.考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围答案(2，)解析根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(2，1)x|(ax)(1x)2.10.(2018淮安中学月考)设f(x)x3lg(x)，则对任意实数a，b，“ab0”是“f(a)f(b)0”的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围答案充要解析f(x)f(x)x3lg(x)(x)3lg (x)lg10，所以f(x)为奇函数，又f(x)为单调递增函数，所以ab0abf(a)f(b)f(a)f(b)f(a)f(b)0，即“ab0”是“f(a)f(b)0”的充要条件.11.“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的_条件.考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案充分不必要解析当时，ysin(2x)sin2x过原点.当曲线过原点时，k，kZ，不一定有.“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的充分不必要条件.二、解答题12.求证：一次函数f(x)kxb(k0)是奇函数的充要条件是b0.考点充要条件的概念及判断题点充要条件的证明证明充分性：如果b0，那么f(x)kx.因为f(x)k(x)kx，所以f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数.必要性：因为f(x)kxb(k0)是奇函数，所以f(x)f(x)对任意x均成立，即k(x)b(kxb)，所以b0.综上，一次函数f(x)kxb(k0)是奇函数的充要条件是b0.13.设p：实数x满足x24ax3a20，q：实数x满足x26x50，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围解设Ax|x24ax3a20x|ax0，Bx|x26x50x|1x.即关于x的方程x22mxm2m20的两根都大于2的充要条件为.