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【课时训练】圆锥曲线的综合问题一、选择题1(2018昆明两区七校调研)过抛物线y2x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则|AF|的取值范围是()A. B.C. D.【答案】D【解析】记点A的横坐标是x1，则有|AF|x1|AF|cos ，|AF|(1cos )，|AF|.由，得1cos ，22(1cos )4，0，b0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|28a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，)B(2,3C(1,3D(1,2【答案】C【解析】由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF2|2a|PF1|，所以|PF1|4a8a.所以|PF1|2a，|PF2|4a.在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即2a4a2c，所以e3.又e1，所以10，得m22，1，即e.而0e11，e1b0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C1的方程；(2)设点P在抛物线C2：yx2h(hR)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值【解】(1)由题意，得解得因此，所求椭圆C1的方程为x21.(2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2h)，则抛物线C2在点P处的切线斜率为y|xt2t.直线MN的方程为y2txt2h.将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2(2txt2h)240，即4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以式中的116t42(h2)t2h240.设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3.设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4.由题意，得x3x4，即t2(1h)t10.由式中的2(1h)240，得h1或h3.当h3时，h20,4h2b0)的离心率e，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论【解】(1)由短轴长为2，得b，由e，得a24，b22，所以椭圆C的标准方程为1.(2)以MN为直径的圆过定点F(，0)证明如下：设P(x0，y0)，则Q(x0，y0)，且1，即x2y4，因为A(2,0)，所以直线PA方程为y(x2)所以M.直线QA方程为y(x2)，所以N.以MN为直径的圆为(x0)(x0)0.即x2y2y0.因为x42y，所以x2y22y20，令y0，则x220，解得x.所以以MN为直径的圆过定点F(，0)8(2018安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测)椭圆E：1(ab0)的离心率为，点(，)为椭圆上的一点(1)求椭圆E的标准方程；(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值(1)【解】因为e，所以ca，a2b22.又椭圆过点(，)，所以1.由，解得a26，b24，所以椭圆E的标准方程为1.(2)【证明】设直线l：ykx1，联立得(3k22)x26kx90.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，易知B(0，2)，故kBCkBDk2k23k(3k22)2.所以对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值9(2018吉林一中等五校联考)已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程(2)是否存在过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足2(O为坐标原点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【解】(1)由题意得解得椭圆C的标准方程是1.(2)当直线l的斜率不存在时，M(0，)，N(0，)，3，不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx2，M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y整理得(34k2)x216kx40，(16k)216(34k2)0，解得k或k.x1x2，x1x2，x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)44.2, 2，解得k，满足0，故存在符合题意的直线，其方程为kx2.
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