2018版高中数学 第三章 统计案例 3.2 回归分析学案 苏教版选修2-3.doc

3 2 回归分析 学习目标 1 会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系 2 能通过相关系数判断两个 变量间的线性相关程度 3 了解非线性回归分析 知识点一 线性回归模型 思考 某电脑公司有 5 名产品推销员 其工作年限与年推销金额数据如下表 推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限 x 年 3 5 6 7 9 推销金额 y 万元 2 3 3 4 5 请问如何表示推销金额 y 与工作年限 x 之间的相关关系 y 关于 x 的线性回归方程是什么 梳理 线性回归模型 1 随机误差 具有线性相关关系的两个变量的取值 x y y 的值不能由 x 完全确定 可将 x y 之间的关 系表示为 y a bx 其中 是确定性函数 称为随机误差 2 随机误差产生的主要原因 所用的 不恰当引起的误差 忽略了 存在 误差 3 线性回归模型中 a b 值的求法 y 称为线性回归模型 a b 的估计值为 则a b Error 4 回归直线和线性回归方程 直线 x 称为回归直线 此直线方程即为线性回归方程 称为 称为y a b a b 称为 y 知识点二 样本相关系数 r 具有相关关系的两个变量的线性回归方程 x y b a 思考 1 变量 与真实值 y 一样吗 y 思考 2 变量 与真实值 y 之间误差大了好还是小了好 y 梳理 样本相关系数 r 及其性质 1 r 2 r 具有以下性质 r r 越接近于 x y 的线性相关程度越强 r 越接近于 x y 的线性相关程度越弱 知识点三 对相对关系数 r 进行显著性检验的基本步骤 1 变量 x y 不具有线性相关关系 2 如果以 95 的把握作出判断 那么可以根据 1 0 95 0 05 与 n 2 在教材附录 2 中查出 一个 r 的临界值 r0 05 其中 1 0 95 0 05 称为检验水平 3 计算 4 作出统计推断 若 r 则否定 H0 表明有 的把握认为 x 与 y 之间具 有线性相关关系 若 r r0 05 则 原来的假设 H0 即就目前数据而言 没 有充分理由认为 y 与 x 之间有线性相关关系 类型一 求线性回归方程 例 1 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析 得下表数据 x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 1 请画出上表数据的散点图 2 请根据上表提供的数据 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 x y b a 3 试根据求出的线性回归方程 预测记忆力为 9 的同学的判断力 相关公式 b n i 1xiyi nx yn i 1x2i n x2 a y b x 反思与感悟 1 求线性回归方程的基本步骤 列出散点图 从直观上分析数据间是否存在线性相关关系 计算 iyi xy n i 1x2i n i 1x 代入公式求出 x 中参数 的值 y b a b a 写出线性回归方程并对实际问题作出估计 2 需特别注意的是 只有在散点图大致呈线性时 求出的回归方程才有实际意义 否则求 出的回归方程毫无意义 跟踪训练 1 某班 5 名学生的数学和物理成绩如下表 学生编号 1 2 3 4 5 学科编号 A B C D E 数学成绩 x 88 76 73 66 63 物理成绩 y 78 65 71 64 61 1 画出散点图 2 求物理成绩 y 对数学成绩 x 的线性回归方程 3 一名学生的数学成绩是 96 试预测他的物理成绩 类型二 线性回归分析 例 2 现随机抽取了某中学高一 10 名在校学生 他们入学时的数学成绩 x 与入学后第一次 考试的数学成绩 y 如下 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问 这 10 名学生的两次数学成绩是否具有线性关系 反思与感悟 相关关系的两种判定方法及流程 1 利用散点图判定的流程 2 利用相关系数判定的流程 计 算 r 结 合 r与 相 关 关 系 的 关 系 判 断 跟踪训练 2 一台机器由于使用时间较长 但还可以使用 它按不同的转速生产出来的某机 械零件有一些会有缺点 每小时生产有缺点的零件的多少 随机器运转的速度而变化 下表 为抽样试验的结果 转速 x 转 秒 16 14 12 8 每小时生产有缺点的零件数 y 件 11 9 8 5 对变量 y 与 x 进行线性相关性检验 类型三 非线性回归分析 例 3 下表为收集到的一组数据 x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 1 作出 x 与 y 的散点图 并猜测 x 与 y 之间的关系 2 建立 x 与 y 的关系 3 利用所得模型 估计当 x 40 时 y 的值 反思与感悟 非线性回归问题的处理方法 1 指数函数型 y e bx a 函数 y e bx a的图象 处理方法 两边取对数 得 ln y ln ebx a 即 ln y bx a 令 z ln y 把原始数据 x y 转化为 x z 再根据线性回归模型的方法求出 a b 2 对数函数型 y bln x a 函数 y bln x a 的图象 处理方法 设 x ln x 原方程可化为 y bx a 再根据线性回归模型的方法求出 a b 3 y bx2 a 型 处理方法 设 x x2 原方程可化为 y bx a 再根据线性回归模型的方法求出 a b 跟踪训练 3 已知某种食品每千克的生产成本 y 元 与生产该食品的重量 x 千克 有关 经生 产统计得到以下数据 x 1 2 3 5 10 y 10 15 5 52 4 08 2 85 2 11 x 20 30 50 100 200 y 1 62 1 41 1 30 1 21 1 15 通过以上数据 判断该食品的生产成本 y 元 与生产的重量 x 千克 的倒数 之间是否具有线 1x 性相关关系 若有 求出 y 关于 的回归方程 并估计一下生产该食品 500 千克时每千克的 1x 生产成本是多少 精确到 0 01 1 设有一个线性回归方程 2 1 5 x 当变量 x 增加 1 个单位时 y 平均 个单位 y 2 如图四个散点图中 适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是 填序号 3 某厂节能降耗技术改造后 在生产 A 产品过程中记录的产量 x 吨 与相应的生产能耗 y 吨 的几组对应数据如表 x 3 4 5 6 y 2 5 t 4 4 5 根据上表提供的数据 求出 y 关于 x 的线性回归方程为 0 7 x 0 35 则上表中的y t 4 下表是 x 和 y 之间的一组数据 则 y 关于 x 的回归直线必过点 x 1 2 3 4 y 1 3 5 7 5 已知 x y 之间的一组数据如下表 x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 1 分别计算 x1y1 x2y2 x3y3 x4y4 x x x x xy 21 2 23 24 2 已知变量 x 与 y 线性相关 求出回归方程 回归分析的步骤 1 确定研究对象 明确哪个变量是自变量 哪个变量是因变量 2 画出确定好的自变量和因变量的散点图 观察它们之间的关系 如是否存在线性关系等 3 由经验确定回归方程的类型 如果呈线性关系 则选用线性回归方程 x y b a 4 按一定规则估计回归方程中的参数 答案精析 问题导学 知识点一 思考 画出散点图 由图可知 样本点散布在一条直线附近 因此可用回归直线表示变量之 间的相关关系 设所求的线性回归方程为 x y b a 则 0 5 b 5 i 1 xi x yi y 5 i 1 xi x 2 1020 0 4 a y b x 所以年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程为 0 5 x 0 4 y 梳理 1 a bx 2 确定性函数 某些因素的影响 观测 3 a bx n i 1xiyi nx yn i 1x2i n x 2 y b x 4 回归截距 回归系数 回归值 知识点二 思考 1 不一定 思考 2 越小越好 梳理 1 n i 1xiyi nx y n i 1x2i n x 2 n i 1y2i n y 2 2 1 1 0 知识点三 1 提出统计假设 H0 3 样本相关系数 r 4 r0 05 95 没有理由拒绝 题型探究 例 1 解 1 如图 2 iyi 6 2 8 3 10 5 12 6 158 4 i 1x 9 4 x 6 8 10 124 y 2 3 5 64 6 2 8 2 10 2 12 2 344 4 i 1x2i 0 7 b 158 4 9 4344 4 92 1420 4 0 7 9 2 3 a y b x 故线性回归方程为 0 7 x 2 3 y 3 由 2 中线性回归方程可知 当 x 9 时 0 7 9 2 3 4 预测记忆力为 9 的同学的y 判断力约为 4 跟踪训练 1 解 1 散点图如图 2 88 76 73 66 63 x 15 73 2 78 65 71 64 61 67 8 y 15 iyi 88 78 76 65 73 71 66 64 63 61 25 054 5 i 1x 88 2 76 2 73 2 66 2 63 2 27 174 5 i 1x2i 所以 b 5 i 1xiyi 5x y5 i 1x2i 5 x 2 0 625 25 054 5 73 2 67 827 174 5 73 22 67 8 0 625 73 2 22 05 a y b x 所以 y 对 x 的线性回归方程是 0 625 x 22 05 y 3 当 x 96 时 0 625 96 22 05 82 即可以预测他的物理成绩是 82 y 例 2 解 120 108 99 108 107 8 x 110 84 64 57 71 68 y 110 120 2 108 2 99 2 108 2 10 i 1x2i 116 584 84 2 64 2 57 2 71 2 47 384 10 i 1y2i iyi 120 84 108 64 99 57 108 71 73 796 10 i 1x 所以相关系数为 r 73 796 10 107 8 68 116 584 10 107 82 47 384 10 682 0 751 由检验水平 0 05 及 n 2 8 在附录 2 中查得 r0 05 0 632 因为 0 751 0 632 由此可看出这 10 名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系 跟踪训练 2 解 由题中数据可得 12 5 8 25 x y iyi 438 4 412 5 660 291 4 i 1x xy 4 i 1x2i 4 i 1y2i 所以 r 4 i 1xiyi 4x y 4 i 1x2i 4 x 2 4 i 1y2i 4 y 2 438 412 5 660 625 291 272 25 0 995 25 5656 25 由检验水平 0 05 及 n 2 2 在教材附录表 2 中查得 r0 05 0 950 因为 r r0 05 所以 y 与 x 具有线性相关关系 例 3 解 1 作出散点图如图 从散点图可以看出 x 与 y 不具有线性相关关系 根据已有知 识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线 y c1ec2x 的周围 其中 c1 c2为待定的参 数 2 对两边取对数把指数关系变为线性关系 令 z ln y 则有变换后的样本点应分布在直线 z bx a a ln c1 b c2的周围 这样就可以利用线性回归模型来建立 y 与 x 之间的非线 性回归方程 数据可以转化为 x 21 23 25 27 29 32 35 z 1 946 2 398 3 045 3 178 4 190 4 745 5 784 求得线性回归方程为 0 272 x 3 849 z e 0 272x 3 849 y 3 当 x 40 时 e 0 272x 3 849 1 131 y 跟踪训练 3 解 设 u 通过已知数据得到 y 与 u 的相应数据为 1x u 1x 1 0 5 0 33 0 2 0 1 y 10 15 5 52 4 08 2 85 2 11 u 1x 0 05 0 03 0 02 0 01 0 005 y 1 62 1 41 1 30 1 21 1 15 根据上述数据可求得相关系数 r 10 i 1ui yi 10u y 10 i 1u2i 10 u2 10 i 1y2i 10 y2 0 999 8 于是有很大的把握认为 y 与 具有线性相关关系 1x 而 8 973 b 10 i 1ui yi 10u y10 i 1u2i 10u2 1 126 a y b u 于是 y 与 的回归方程为 1 126 1x y 8 973x 当 x 500 时 1 126 1 14 y 8 973500 所以估计生产该食品 500 千克时每千克的生产成本是 1 14 元 当堂训练 1 减少 1 5 2 3 3 4 2 5 4 5 解 1 1 5 4 x 0 1 2 34 y 1 3 5 74 x1y1 x2y2 x3y3 x4y4 0 1 1 3 2 5 3 7 34 x x x x 0 2 1 2 2 2 3 2 14 21 2 23 24 2 2 b 34 4 1 5 414 4 1 52 4 2 1 5 1 a y b x 故 2 x 1 y