2019-2020年沪教版高中数学高二上册《无穷等比数列各项的和》教学设计.doc

2019-2020年沪教版高中数学高二上册无穷等比数列各项的和教学设计 教材：上海市教育出版社高中二年级第一学期第七章第八节教学目标1. 理解无穷等比数列各项的和的意义；2. 利用无穷等比数列各项的和解决有关问题，特别是无限循环小数化分数的问题，对有理数有进一步清晰、完整的认识；3. 通过无穷等比数列各项的和概念的引入及其研究，初步形成研究数学问题的能力，对数学中出现的有关无穷的问题有一个初步的认识，并对解决无穷问题的方法有一个初步的了解.重点难点1. 无穷等比数列各项的和概念的引入以及定义的准确表述；2. 如何转变学生在认识无穷问题上一些感性认识的错误，比如等式的成立是否是准确的.教学过程一、引入课题今天我们学习无穷等比数列各项的和.在小学，同学们学习过分数化小数，我们知道分数可以化成有限小数或无限循环小数.例如：，但是我们是怎样理解无限循环小数，怎样理解的呢？我想大家对此是不多加思考的，知道它就是.那么对于呢？你想到什么呢，它是什么意思，表示什么，等于多少，它是哪个数化成的，它是大于1，等于1，还是小于1？今天我们学习无穷等比数列各项的和，要从理论上根本解决这些问题.二、概念产生的过程我们已经学过无穷等比数列，但是什么是各项的和呢？我们先看一个具体的无穷等比数列.（1）求无穷等比数列，即：各项的和.分析：求数列各项的和，顾名思义，就是求数列全部项的和.无穷数列有无穷项，无穷项写也写不完，怎样相加求和？很明显，这在传统算术意义上是无法相加求和的，是不存在和的.但是这个问题是数学发展过程中产生的一个新问题，是需要加以研究解决的.对于新问题，就要用新思维、新方法加以研究解决，与时俱进，有所创造.创造要有一定的基础，我们先回顾一下与这个问题有关的我们已知什么？我们已知的是数列的前项的和，下面我们就探讨与“各项和”的关系？求无穷数列各项的和，根据和的基本含义，是要把它们加起来，从前面开始加起来，它的基础是前项和，对于数列，.我们想像一直加下去能得到“和”，即“和”是存在的，是一个确定的数“”，那么前项和与“”的关系为：当愈来愈大时，就会接近、无限制地接近这个和“”.根据前面学习过的极限的知识，这个和“”应该是前项和的极限.通过上面的分析：我们首先要明确什么是“无穷项的和”，即要赋予“无穷项的和”的意义（定义）.有了意义，才能讨论怎样计算，也就是给出计算方法.用已知刻画未知.我们已知的是前项和以及它的极限（如果极限存在）.未知的是无穷项的和.对于数列，已知，且.根据前面所认识到的前项和的极限与我们所探索的“各项和”的关系，我们有如下定义.对于无穷等比数列，我们定义为它的各项的和，记为，即.即：.（2）上升到一般的无穷等比数列，其中，），的极限不存在；） ，当，的极限不存在；当时：，所以：，即前项和的极限存在且等于.定义：对于的无穷等比数列，我们定义为它的各项的和，记为，即.三、应用（1）无限循环小数的问题我们知道分数化小数，逆过来呢？是表示首项为，公比为的无穷等比数列数列各项的和，即.由此也可以看出我们定义的合理性.对于，是表示首项为，公比为的无穷等比数列数列各项的和，即.，.这两个等式的成立是准确的呢，还是近似的？即左边是否真的等于，还是近似等于，还是小于？对于这两个等式，同学们感觉上总认为等式左边小于右边，总觉得差一点.本质上同学们还是用有限来理解无限，通过今天的学习，我们要明确这两个等式的成立是准确的，因为这是根据无穷等比数列各项和的定义得到的.（2）例题例：正方形ABCD的边长为1，连接这个正方形各边的中点得到一个小的正方形；又连接这个小正方形各边的中点得到一个更小的正方形；如此无限继续下去，求所有这些正方形的面积的和.解：设第个正方形的面积为，由条件：由题设，可得到：，进而：，所以，所有正方形的面积组成的数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，故所有正方形的面积之和为：.四、总结1）本节课我们学习了“无穷等比数列各项的和”，是同学们第一次真正意义上碰到有关无穷的问题，也就是无穷个数相加.请同学们回去好好体会一下今天我们是如何处理有关无穷的问题，好好思考一下我们处理无穷问题的方法.2）作为“无穷等比数列各项的和”的应用，我们解决了无限循环小数的问题，也就是无限循环小数都可以化成分数，对有理数有了更清晰和完整的认识.