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2.2.2 椭圆的几何性质基础达标1椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为_解析：把椭圆的方程化为标准形式1，故a2，b21，所以a，b1,24，解得，m，符合题意答案：2已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0e，则长轴的最大值是_解析：由e2，得0，解得1a24.故1a2,22a4.即长轴的最大值是4.答案：43若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_解析：由题意知2bac，又b2a2c2，4(a2c2)a2c22ac.3a22ac5c20，5c22ac3a20.5e22e30，e或e1(舍去)答案：4已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_解析：结合图形(图略)，转化为cb0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，如果PF1F275，PF2F115，则椭圆的离心率是_解析：在RtPF1F2中，由正弦定理，得2c，2c.由椭圆的定义，知PF1PF22a.代入上式，有e.答案：6在平面直角坐标系xOy中，以椭圆1(ab0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B、C两点，若ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是_解析：由题意得，圆半径r，因为ABC是锐角三角形，所以cos 0coscos，即1，所以1，即2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆C2的方程为1.(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2，得x4x，即，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.能力提升1过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_解析：椭圆1的右焦点F2(1,0)，故直线AB的方程y2(x1)，由，消去y，整理得3x25x0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，则x1，x2是方程3x25x0的两个实根，解得x10，x2，故A(0，2)，B，故SOABSOFASOFB1.答案：2设F1、F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为_解析：由题意，知F2F1PF2PF130，PF2x60.PF223a2c.F1F22c，F1F2PF2，3a2c2c，e.答案：3椭圆1的焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围解：设点P的坐标为(x，y)，F1(，0)，F2(，0)，在三角形PF1F2中，由余弦定理得：cos F1PF2，因为PF1PF26，F1F22，故cos F1PF211，当且仅当PF1PF2时取等号，即cos F1PF21.所以当cos F1PF20时，F1PF2为钝角令0，因为(x，y)，(x，y)，则x25y20，y2x25，代入椭圆方程得：x2，x，所以点P的横坐标的取值范围是x0，y20.由得(m22)y2my110，解得y1，故AF1.同理，BF2.()由得AF1BF2，解得m22，注意到m0，故m.所以直线AF1的斜率为.()证明：因为直线AF1与BF2平行，所以，于是，故PF1BF1.由B点在椭圆上知BF1BF22，从而PF1(2BF2)同理，PF2(2AF1)因此PF1PF2(2BF2)2.由得，AF1BF2，AF1BF2，PF1PF22，PF1PF2是定值
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