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4.4单位圆的对称性与诱导公式(二)内容要求1.掌握诱导公式1.131.14的推导(重点).2.能应用公式1.131.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)知识点1的诱导公式对任意角，有下列关系式成立：sin()cos ，cos()sin .(1.13)sin()cos ，cos()sin .(1.14)诱导公式1.131.14的记忆：，的正(余)弦函数值，等于的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”【预习评价】请你根据上述规律，完成下列等式sin()cos_，cos()sin_.sin()cos_，cos()sin_.知识点2诱导公式的记忆方法记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限(1)函数名不变，符号看象限“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2k(kZ)，2，的正弦函数、余弦函数值等于角的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把看作锐角时原函数值的符号(2)函数名改变，符号看象限“函数名改变，符号看象限”指的是对于角，(k为奇数)的函数值等于角的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把看作锐角时原函数值的符号【预习评价】(1)cos()_.(2)sin()_.(3)cos(3)_.(4)sin(2)_.答案(1)sin (2)cos (3)cos (4)sin 题型一条件求值【例1】已知cos，求sin的值解，sin()sincos.规律方法利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意与，与等互余角关系的识别和应用【训练1】已知sin，求cos的值解coscoscossin.题型二利用诱导公式化简和证明【例2】求证：.证明左边右边，所以原式得证规律方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同【训练2】设sin()acos()，求证：.证明sin()acos()左边右边原等式得证【例3】已知sin(3)2cos(4)，求的值解由sin(3)2cos(4) 得sin()2cos ，即sin 2cos .【迁移1】若例3中的条件不变改为求的值，则结果如何？解原式.【迁移2】若例3中的条件不变改为求的值解由例题知，sin 2cos .原式3.【迁移3】若将例3中的条件“sin(3)2cos(4)”改为“已知”求原式的值解，sin sin()sin(52)sin，cos cos()cos(52)cos，137.规律方法所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k，(kZ)时，要注意讨论k为奇数或偶数.课堂达标1若sin ，则cos()的值为()A.B.CD解析sin ，cos()sin .答案C2已知sin，则cos的值为()AB. C.D解析coscossin.答案D3代数式sin2(A45)sin2(A45)的化简结果是_(注：对任意角有sin2cos21成立)解析原式sin2(A45)sin2(45A)sin2(A45)cos2(A45)1.答案14若sin()，则cos()_.解析cos()cos()sin().答案5已知sin().计算：(1)cos；(2)sin.解sin()sin ，sin .(1)coscossin .(2)sincos ，cos21sin21.sin ，为第一或第二象限角当为第一象限角时，sincos .当为第二象限角时，sincos .课堂小结1诱导公式的选择方法：先将化为正角，再用2k(kZ)把角化为0,2)内的角，再用，2化为锐角的三角函数，还可继续用化为内的角的三角函数由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小2解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.基础过关1若sin(3)，则cos()等于()AB. C.D解析sin(3)sin ，sin ，cos()cos()cos()sin .答案A2已知sin，则cos的值等于()AB.C D.解析cossinsinsin.答案A3若sin()cosm，则cos2sin(2)的值为()AB.C D.解析sin()cossin sin m，sin .故cos2sin(2)sin 2sin 3sin m.答案C4已知sin ，则cos()的值为_解析cos()sin .答案5化简：_.解析原式sin .答案sin 6已知角终边经过点P(4,3)，求的值解角终边经过点P(4,3)，sin ，cos ，.7求证：.(注：对任意角有sin2cos21成立)证明左边右边原式成立能力提升8已知cos(75)，则sin(15)cos(105)的值是()A.B.CD解析sin(15)cos(105)sin(75)90cos180(75)sin90(75)cos(75)cos(75)cos(75)2cos(75).答案D9cos 1cos 2cos 3cos 179cos 180_.解析cos 179cos(1801)cos 1cos 178cos(1802)cos 2cos 91cos(18089)cos 89原式(cos 1cos 179)(cos 2cos 178)(cos 89cos 91)(cos 90cos 180)cos 90cos 1800(1)1.答案110已知为第二象限角，化简_.(注：对任意角有sin2cos21成立)解析原式.为第二象限角，sin 0，cos 0，原式1.答案111若k4,5,6,7 ，且sinsin ，coscos ，则k_.解析利用验证法，当k4时，sin(2)sin ，cos(2)cos 符合条件；当k5,6,7时，不符合条件故k4.答案412化简求值：(1)cos cos cos cos ；(2)sin(2n)cos(n)(nZ)解(1)cos cos cos cos cos cos cos()cos()cos cos cos cos 0.(2)当n为奇数时，原式sin()(cos )sin()cos()sin cos ；当n为偶数时，原式sin cos sin()cos()sin cos .13(选做题)是否存在角，(0，)，使等式同时成立若存在，求出，的值；若不存在，说明理由(注：对任意角有sin2cos21成立)解由条件，得22，得sin23cos22，又因为sin2cos21，由得sin2，即sin ，因为，所以或.当时，代入得cos ，又(0，)，所以，代入可知符合当时，代入得cos ，又(0，)，所以，代入可知不符合综上所述，存在，满足条件
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