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第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列四个命题：两个复数不能比较大小；若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；纯虚数集相对复数集的补集是虚数集其中真命题的个数是()A0B1C2 D3解析：中当这两个复数都是实数时，可以比较大小由于x，y都是复数，故xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件若a0，则ai不是纯虚数由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集答案：A2“复数z是实数”的充分不必要条件为()A|z|z BzCz2是实数 Dz是实数解析：由|z|z可知z必为实数，但由z为实数不一定得出|z|z，如z2，此时|z|z，故“|z|z”是“z为实数”的充分不必要条件答案：A3设复数z(34i)(12i)(i是虚数单位)，则复数z的虚部为()A2 B2C2i D2i解析：由z(34i)(12i)112i，所以复数z的虚部为2.答案：B4复数()A2i B12iC2i D12i解析：2i.答案：C5设i是虚数单位，则()A1i B1iC1i D1i解析：由复数的运算法则有(1i)1i，故选B.答案：B6已知z是纯虚数，是实数，则z等于()A2i BiCi D2i解析：设zbi(bR，且b0)，则(2b)(2b)iR，2b0，b2，z2i.答案：D7若复数z满足2i，则z对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：2i，z2i(1i)22i，故选B.答案：B8复数z(i为虚数单位)，则|z|()A25 B.C5 D.解析：z43i，所以|z|5.答案：C9已知bi(a，bR)，其中i为虚数单位，则ab()A1 B1C2 D3解析：由bi，得a2i1bi，所以a1，b2，所以ab1，故选B.答案：B10如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则()A.i B.iCi Di解析：由题图，知z12i，z2i，则i.故选C.答案：C11复数z的共轭复数为，且(12i)43i，则z等于()A5 B10C25 D.解析：2i.z2i，故z(2i)(2i)5.答案：A12如果复数z满足|zi|zi|2，那么|z1i|的最小值是()A1 B.C2 D.解析：|zi|zi|2，则复数z在复平面对应的点Z在以(0,1)和(0，1)为端点的线段上，|z1i|表示点Z到(1，1)的距离由图可知最小值为1.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13复数的共轭复数是_解析：i，其共轭复数为i.答案：i14若(13i)(3bi)是纯虚数，则实数b_.解析：(13i)(3bi)(33b)(9b)i.因为(13i)(3bi)为纯虚数，所以33b0，且9b0，所以b1.答案：115若复平面上的平行四边形ABCD中，对应的复数为68i，对应的复数为46i，则对应的复数为_解析：法一由复数加、减法的几何意义，可得，两式相加，可得2214i，所以17i.法二如图，把向量平移到向量的位置，可得()17i.答案：17i16使不等式m2(m23m)i(m24m3)i10成立的实数m的取值集合是_解析：只有两个复数均为实数时，才能比较大小，由条件得从而m3.答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知复数z(3bi)(13i)(bR)是纯虚数(1)求b的值；(2)若，求复数的模|.解析：(1)z(3bi)(13i)(33b)(9b)i.z是纯虚数，33b0，且9b0，b1.(2)i，|.18(12分)已知复数z.(1)求z的共轭复数；(2)若azb1i，求实数a，b的值解析：(1)z1i，1i.(2)由题意得a(1i)b1i，即abai1i.解得a1，b2.19(12分)已知复数z12i,2z2.(1)求z2；(2)若在复平面上z1，z2对应的点分别为A，B，求|AB|.解析：(1)因为z12i，所以2z2，所以z2i.(2)因为在复平面上z1，z2对应的点分别为A，B，所以点A，B的坐标分别为(2,1)，(0，1)所以|AB|2.20(12分)设复数za2a2(a27a6)i，其中aR，问当a取何值时，(1)zR；(2)z是纯虚数；(3)284i；(4)z所对应的点在复平面的第四象限内解析：(1)zR，只需a27a60，a1或a6.(2)z是纯虚数，只需a2.(3)284i，a5.(4)由题意知故当1a6时，z所对应的点在复平面的第四象限内21(12分)已知复数z123i，z2.求：(1)z2；(2).解析：z213i.(1)z2(23i)(13i)26i3i9113i.(2)i.22(12分)已知关于x的方程x2(6i)x9ai0(aR)有实数根b.(1)求实数a，b的值；(2)若复数z满足|abi|2|z|，求z为何值时，|z|有最小值并求出最小值解析：(1)将b代入题中方程x2(6i)x9ai0，整理得(b26b9)(ab)i0.则b26b90，且ab0，解得ab3.(2)设zxyi(x，yR)，则(x3)2(y3)24(x2y2)，即(x1)2(y1)28.所以点Z在以(1,1)为圆心，2为半径的圆上画图可知，z1i时，|z|min.
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