概率统计-第四章.ppt

第四章随机变量的数字特征 数学期望方差协方差及相关系数矩 协方差矩阵 1 数学期望 一 数学期望的概念 A胜2局B胜1局 前三局 后二局 把已赌过的三局 A胜2局B胜1局 与上述结果相结合 即 A B赌完5局 并且 AA AB BA BB A胜 B胜 分析 假设继续赌两局 则结果有以下四种情况 AA AB BA BB A胜B负 A胜B负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 因此 A能 期望 得到的数目应为 而B能 期望 得到的数目为 在赌技相同的情况下 A B最终获胜的可能性大小之比为 即A应获得赌金的 而B只能获得赌金的 因而A期望所得的赌金即为X的 期望 值 它等于 即为X所有可能值与其概率之积的累加 若设随机变量X为 在A胜2局B胜1局的前提下 继续赌下去A最终所得的赌金 则X所取可能值为 其概率分别为 设某射击手在同样的条件下 瞄准靶子相继射击90次 命中的环数是一个随机变量 射中次数记录如下 引例2射击问题 试问 该射手平均命中环数是多少 解 平均射中环数 随机变量Y表示 射手射中的环数 加权平均 平均射中环数 平均射中环数 的稳定值 射中环数的可能值与其概率之积的累加 Y的 数学期望 离散型随机变量的数学期望 定义4 1 1 分赌本问题 A期望所得的赌金即为X的数学期望 射击问题 平均射中环数 的稳定值应为随机变量Y的数学期望 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 200 34 0 14 150 关于定义的两点说明 1 E X 是一个实数 而非变量 它是一种加权平均 与一般的平均值不同 它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值 也称均值 2 级数的绝对收敛性保证了级数的值不随级数各项次序的改变而改变 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X所有可能取值的平均 它不应随可能值的排列次序而改变 例4 1 1 射击问题 甲 乙两个射手 他们射击的分布律分别为问 哪个射手技术更好 1 2 1 8 0 3 9 0 1 10 0 6 9 3 2 8 0 2 9 0 5 10 0 3 9 1 例4 1 2 彩票发行 某一彩票中心发行彩票10万张 每张2元 设头等奖1个 奖金1万元 二等奖2个 奖金各5千元 三等奖10个 奖金各1千元 四等奖100个 奖金各100元 五等奖1000个 奖金各10元 已知每张彩票的成本费为0 3元 试计算彩票发行单位的创收利润 例4 1 3 候车时间 按规定 某车站每天8 00 9 00 9 00 10 00都恰有一辆客车到站 但到站的时刻是随机的 并且到站的事件都相互独立 其规律为一旅客8 20到车站 求他候车时间的数学期望 例4 1 4 分组验血 在一个人数很多的团体中普查某种疾病 为此需要抽验N个人的血 可用两种方法进行 i 将每个人的血分别取验 这需要检验N次 ii 按k个人一组进行分组 把k个人抽来的血混合之后检验 如果这组混合血液呈阴性反应 就说明k个人的血都呈阴性反应 这样只需化验一次 若呈阳性 则再对k个人的血分别化验 这样需要化验k 1次 假设每个人化验呈阳性的概率为p 且这些人的试验反应是相互独立的 试说明当p较小时 选取适当的k 按第二种方法可以减少化验次数 并说明k取什么值的时候最适宜 解 X表示按第二种方法 组内每人需要化验血的次数 E 1 1 1 当p固定时 选取k使得 取到极小值 对应的第二种方案最适宜 若取p 0 1 则当k 4时 对应的f k 取到极小值 最适宜 例4 1 5 泊松分布 设X服从指数为 的泊松分布 求X的数学期望 连续型随机变量的数学期望 定义4 1 2 定理4 1 1设Y是X的函数 Y g X 其中g是连续函数 那么当X是离散型的 且分布律为 1 2 时 若 1 绝对收敛 则有 二 随机变量函数的数学期望 当X是连续型的 且概率密度为 时 若积分 绝对收敛 则有 问 已知 X Y 的联合概率密度 如何计算E X 例4 1 9设 X Y 的分布律为 2 0 1 15 5 例4 1 10设风速V在 0 a 上服从均匀分布 飞机机翼收到的正压力W是V的函数 2 0 常数 求W的数学期望 例4 1 11设X N 0 1 求 2 1 三 数学期望的性质设C是常数 则有 设X是一个随机变量 C是常数 则有 设X和Y是两个随机变量 则有 设X和Y是相互独立的随机变量 则有 线性性质 注 性质 可推广到多个随机变量的情形 反之不成立 例4 1 12 将复杂的随机变量进行分解 设一机场巴士载有20位乘客 共有10个车站可以下车 如果到达一个车站没人下车就不停车 以X表示停车的次数 试求X的数学期望E X 解 1 2 10 1 E 2 10 101 91020 8 784 例4 1 13 利润问题 某公司计划开发一种新产品市场 并试图确定该产品的产量 它们估计出售一件产品可获利m元 而积压一件产品会导致n元的损失 再者 他们预测销售量Y服从参数为 的指数分布 试问 如果要获得利润的数学期望最大 那么应生产多少件产品 若 若 例4 1 14 竞拍问题 设甲与其他三人参与一个项目的竞拍 价格以千美元计 价格高者获胜 若甲中标 他就将此项目以10千美元转让给他人 可认为其他三人的竞拍价是相互独立的 且都在7 11千美元之间均匀分布 问 甲应如何报价才能使获益的数学期望为最大 总结 数学期望 数学期望是一个实数 而非变量 它是一种加权平均 与一般的平均值不同 它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值 3 数学期望的性质 2 期望的计算方法 练习 设X服从参数为p的两点分布 Y b n p Z g p 求E X E Y 和E Z 2 方差 实例有两批灯泡 其平均寿命都是E X 1000小时 随机变量与其均值的偏离程度 方差 一 方差的定义 定义4 2 1设X是一个随机变量 若 存在 则称其为X的方差 记为D X 或Var X 即 并称 为标准差或均方差 记为 注 随机变量X的方差D X 刻画了X的取值与其数学期望E X 的平均偏离程度 常用来体现随机变量取值的分散程度 二 方差的计算 根据定义 D X 实际上就是随机变量X的函数 2的数学期望 离散型 1 2 连续型 2 计算公式 2 2 例4 2 1 离散型随机变量的方差 设离散型随机变量X的概率分布是P X 0 0 2 P X 1 0 5 P X 2 0 3 求X的方差D X 例4 2 2 连续型随机变量的方差 设连续型随机变量X的概率密度函数为 2 当0 1时 0 其它 求X的方差D X 三 方差的性质 设C是常数 则有 设X是一个随机变量 C是常数 则有 更一般的 设X和Y是两个相互独立的随机变量 则有 可推广到n个相互独立随机变量的情形 的充要条件是X在概率为1的意义下等于某常数C 事实上 该常数C就是E X 切比雪夫 Chebyshev 不等式 设随机变量X具有数学期望 方差 2 则对于任意正数 都成立 2 2 或 1 2 2 例4 2 3 标准化随机变量 设随机变量X的期望和方差分别为E X 和D X 且D X 0 求 的期望和方差 解 例4 2 4 6 26 13 06 12 16 112 36 112 493 6 3 23 13 03 12 13 112 33 112 1 3 2945 9 四 几种常用随机变量的方差 两点分布设随机变量X服从参数为p的两点分布 那么二项分布设X b n p 那么泊松分布设X P 那么 0 2 2 均匀分布设随机变量X U a b 那么指数分布设随机变量X服从参数为 的指数分布 那么 0 21 2 分部积分 2 2 2 2 2 2 13 2 2 正态分布设随机变量 2 那么 22 22 2 2 22 22 2 令 总结 方差 方差是用来体现随机变量X取值分散程度的量 如果D X 大 表示X取值的分散程度大 E X 的代表性差 如果D X 小 表示X取值集中 E X 的代表性好 2 方差的计算方法 3 方差的性质 前提 X和Y相互独立 4 切比雪夫不等式 3 协方差及相关系数 若随机变量X和Y相互独立 那么 若随机变量X和Y不相互独立 那么 2 2 X和Y的协方差 定义4 3 1称量 为随机变量X与Y的协方差 记为Cov X Y 即 注 协方差是期望值 因此上面提到的变化趋势是在平均意义上而言的 一 协方差 注 正的协方差表示两个随机变量有相同方向的变化趋势 负的协方差表示两个随机变量有相反方向的变化趋势 协方差的性质 Cov Cov Cov Cov c Cov 其中a b c d是常数 Cov 1 2 Cov 1 Cov 2 2Cov Cov 常用计算公式 结论 若X与Y相互独立 则Cov X Y 0 反之不成立 定理4 3 1 Cauchy Schwarz不等式 记 则 等号成立当且仅当X与Y之间在概率为1的意义下有线性关系 即存在常数a和b 使得 二 相关系数 定义4 3 2当 0时 称 为随机变量X与Y的相关系数 注 X与Y的相关系数又称为标准协方差 是一个无量纲的量 注 X与Y相互独立 X与Y不相关 定理4 3 2 相关系数的性质定理 当且仅当X与Y之间有线性关系时等号成立 注 相关系数 刻画了X与Y之间线性关系的强弱程度 越大说明X与Y之间的线性关系越好 注 不相关的意思是不线性相关 也就是不存在线性关系 但有可能存在其他函数关系 独立一定不相关 但不相关不一定独立 注 的符号 正相关 负相关 不相关 在概率为1的意义下 例4 3 1 单位圆域的均匀分布 设二维随机变量 X Y 服从单位圆域上的均匀分布 求X和Y的相关系数 但X与Y不相互独立 1 当 2 2 1时 0 其他 例4 3 2 二维正态分布 设 1 2 12 22 试求X与Y的相关系数 解 根据协方差的定义 Cov 1 2 1 2 结论 1 二维正态分布密度函数中的参数 代表了X与Y的相关系数 2 对二维正态随机变量 X Y 来说 X与Y相互独立 0X与Y不相关 例4 3 3已知 1 32 0 42 1 2 设Z X 3 Y 2 试求 Z的数学期望和方差 Cov X Z 解 Cov 13Cov 12Cov 0 4 矩 协方差矩阵 定义4 4 1 矩 设X和Y是随机变量 若 存在 称它为X的k阶原点矩 简称 阶矩 若 存在 称它为X的 阶中心矩 若 存在 称它为X和Y的 阶混合矩 若 存在 称它为X和Y的 阶混合中心矩 说明 4 若X N 0 1 或t n 则X的奇数阶原点矩为零 5 若 则X的奇数阶中心矩为零 定义4 4 2 协方差矩阵 为n维随机变量的协方差矩阵 协方差矩阵的应用 协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度 从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究 引入矩阵 例如 二维正态随机变量 联合概率密度为 由此可得 推广n维正态随机变量 的联合概率密度可写为 n维正态随机变量的性质 线性变换不变性 作业 P114页第7 14 15 22 26 30 32 34题