2019-2020年高一数学下册必修16.1《正弦函数和余弦函数的图像与性质》教案3篇.doc

2019-2020年高一数学下册必修16.1正弦函数和余弦函数的图像与性质教案3篇一、教学内容分析 本节内容是学生在学习了正弦、余弦函数图像和基本性质以后的知识，学生已经掌握了三角函数线的画法，并且对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识.因此通过正切函数的图像来认识函数的性质，并通过例题来巩固对性质的掌握是学习“正切函数的图像与性质”的一条主线.二、教学目标设计1.理解利用正切线作出的正切函数图像.2.通过观察正切函数图像了解与感悟正切函数的性质.3.通过练习与训练体验并初步掌握正切函数的基本性质.三、教学重点及难点 利用正切线作正切函数的图像；正切函数单调性的证明以及周期性的确定.四、教学用具准备多媒体设备利用诱导公式，画出在R上的大致图像；观察图像，探索与讨论正切函数的性质利用正切线作出正切函数在上的图像五、教学流程设计布置课外作业总结提炼方法，结合图像归纳小结函数性质引导学生证明正切函数单调性并利用单调性解决一些实际例题；通过周期的求解，感悟求一般函数y=tan(x+)周期的方法六、教学过程设计一、 复习引入 1复习我们在前几节中学习了正弦函数线、余弦函数线以及正切函数线，我们通过正弦函数线，画出了正弦函数的图像，并研究了函数的性质.今天，我们同样按照这样的方法通过正切线来画出正切函数的图像，并研究和讨论它的性质. 2引入y 当在第一像限时， 正弦线sin=BM0T余弦线cos=OM0M正切线tan=AT0那么，当在其它三个像限的情况呢？请同学们画ABx出其它三个像限的正切线.O我们将区间进行八等分，9个点分别为分别画出其中的正切线，然后利用描点法画出正切函数的大致图像.Y=tan xy由正切三角比的诱导公式可知：那么y=，可知为y=tanx的一个周期由此，我们可以画出y=tanx在R上的大致图像如下：0yx二、学习新课1. 探究性质观察正切函数的图像，引导学生得正切函数的性质：1.定义域：，2.值域：R 观察：当从小于，时， 当从大于，时，.3.周期性：4.奇偶性：奇函数5.单调性：在开区间内，函数单调递增.从图像上看出函数y=tanx的单调区间是，但是我们怎样从理论上去加以证明呢？考察这个区间内的函数y=tanx的单调性.在这个区间内任意取，且，y1-y2=tanx1-tanx2=.因为，所以则cosx1、cosx20sin()0,从而tanx1-tanx20，y1y2.即正切函数y=tanx在上是增函数.由奇函数的性质可知，在上正切函数y=tanx也是增函数.由于y=tanx的周期为，则函数y=tanx在开区间内单调递增.除了上述证明方法以外，请同学们思考:对于正切函数y=tanx，你还有什么方法能够证明它在开区间内单调递增吗？证法2：在这个区间内任意取，且, tanx1-tanx2= 因为tan(x1-x2)0.因此1+tanx1tanx20.则tanx1-tanx20, tanx1tanx2, 即正切函数y=tanx在上是增函数.接下来的证明同前一种方法说明在考虑正切函数单调性的时候，一定要讲在每一个单调区间上是增函数，而不能讲它在定义域上是增函数，为什么？请同学们思考并说明之. 2例题分析例1.（1）比较tan1670与tan1730的大小;（2）比较与的大小.解：(1)900167017301800，而y=tanx在9001800上单调增函数，tan1670tan1730(2)，又：内单调递增，例2. 讨论函数的性质.略解：定义域：;值域： R ; 它是非奇非偶函数;在上是增函数;令f(x)=tan(x+)=tan(x+)=tan(x+)+=f(x+)因此，函数f(x)的周期是. 3问题拓展例3.求下列函数的单调区间：解：数，递增区间为；单调递增区间是：变式问题1：求函数的单调区间解：因为原函数可以化为：单调递增区间为：单调递减区间为说明在考虑正切函数与其他函数复合的问题时，需要分别注意这两个函数的单调性，然后根据复合函数的规则：增增得增，增减得减，确定单调区间.例4. 求下列函数的周期：解：变式问题2：求解解：思考由上面的例4及其变式，请你归纳一下函数y=Atan(x+)的周期是什么？（）三、巩固练习1. 求函数y=tan的定义域、值域，并指出它的奇偶性、单调性以及周期.解：令u=3x-,则y=tanu，由u可得：，即函数的定义域是y=tanu的值域为R，因此y=tan的值域为R .存在x=和x=-,使tan(3-)tan3(-)-,所以，y=tan是非奇非偶函数.由可以得到y=tan在上是增函数.令f(x)=y= tan=tan=tan3(x+)-=f(x+f(x)=f(x+)，函数f(x)=y= tan的周期是.四、课堂小结小结和归纳这节课所学习的内容正切函数y=tanx的性质：定义域：值域：全体实数R周期性：正切函数是周期函数，最小正周期T=奇偶性：奇函数单调性：正切函数在开区间内都是增函数.我们在求解有关正切函数与其它函数（如一次函数）复合的函数的增减性的时候，一定要将构成此复合函数的每一个函数的单调性都搞清楚，然后根据增增得增、增减得减的原则来确定该函数的单调区间.我们在求解函数周期性的时候，一定要借助y=tanx的周期是的结论，然后再利用周期函数定义f(x)=f(x+T)，求出函数的周期.五、作业布置(略)七、教学设计说明本节课是学生在已经掌握了三角函数线的前提下；在学生学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质的基础上，进一步分析和探究正切函数的图像和性质.因为对于函数的研究方法学生已经基本掌握.因此，在实际学习的过程中，学生对通过函数图像研究函数性质的研究步骤和手段不会感到很陌生.考虑到本节课为正切函数图像与性质的第一节课，所以选取的例题大多比较基础，重点在于让学生通过图像来理解性质，然后通过例题，初步掌握基本性质.本节课在教学技术上通过多媒体课件让学生直观地理解正切函数图像的画法，通过学生自己的思考以及动态的演示，让学生归纳和感悟正切函数的性质.在例题的设计上从最基本的利用单调性比较大小出发，到函数性质的简单应用，再到单调性和周期性的变式训练，由浅入深，层层递进，以积极发挥课堂教学的基础型和研究型功能，培养学生的基础性学力和发展性学力.在课堂教学中教师遵循“以学生为主体”的思想，鼓励学生善于观察和发现；鼓励学生积极思考和探究；鼓励学生大胆猜想，努力营造一个民主和谐、平等交流的课堂氛围，采取对话式教学，调动学生学习的积极性，激发学生学习的热情，使学生开阔思维空间，让学生积极参与教学活动，提高学生的数学思维能力.6.2 正切函数的图像与性质（2） 上海市南洋中学 杜文发一、教学内容分析 本节内容是学生在学习了正弦、余弦函数图像及基本性质以后的知识，学生已经对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识利用余切函数与正切函数的倒数关系，可获得余切函数的图像再通过图像来认识余切函数的性质重点还是正切函数图像及性质本节进一步通过实际应用来巩固对正切函数性质的理解与掌握是学习主线二、教学目标设计1. 学生自主研究余切函数的图像与性质.2. 准确写出正切函数的周期、奇偶性、单调区间.3.通过练习与训练体验正切函数基本性质的应用三、教学重点及难点正切函数基本性质的应用.体验用类比的方法、手段研究余切函数的图像与性质.四、教学用具准备不用多媒体观察图像，提炼余切函数的性质利用余切函数与正切函数的倒数关系作出余正切函数的图像五、教学流程设计通过周期与单调区间的求解，感悟求一般函数周期的方法；利用单调性解决一些实际例题课堂小结布置课外作业六、教学过程设计一、 复习引入 1复习我们在前一节中学习了正切函数的图像及性质，下面我们一起回顾有关知识点（教师板演）。同时提出余切函数的图像与性质会是怎样的？ 2引入 因为，所以可借助正切函数来研究余切函数的图像及性质。二、学习新课1、探究余切函数的图像及性质余切函数的图像观察余切函数的图像，引导学生得余切函数的性质：1.定义域：2.值域：R 3.周期性：4.奇偶性：奇函数.5.单调性：在开区间内，函数单调递增.说明在考虑余切函数单调性的时候，一定要讲在的每一个单调区间上是减函数，而不能讲它在定义域上是减函数，请同学们与正切函数比较、思考并说明之. 2、例题分析例1.比较与的大小;误解：，而是单调减函数，正解： 而在是单调减函数，即说明：比较大小一定要注意两自变量是否在同一单调区间内.例2. 求函数的单调区间，并指出单调性.误解：由 得到单调增区间.正解：（略）说明型函数要注意的正负.例3. 求函数的最小正周期：分析：（）的最小正周期为解：（略）小结：1.求单调区间、最小正周期问题努力化成（）型后在进一步求解（要注意的正负） 2. 余切函数函数有完全类似的应用. 3问题拓展例4. 作函数的图像解：化为 图像如图所示 说明：数形结合知是偶函数、不是周期函数.又、可作为课后思考例5.设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射球门，对球门所张的角最大.（保留两位小数）解：如图612， 米，由球场宽米，可知米，米，设足球运动员在边线上的点处射球门，显然越大，越有利于射门，设点与底线的距离为米，则，当且仅当，即时，取最大值，因为当时，为增函数，所以当9（米）时，取最大值，此时对球门的张角最大，有利于提高射门的命中率。三、课内巩固练习1.求函数的定义域、值域，并指出它的奇偶性、单调性以及周期. 四、课堂小结1.主要是（）型（要注意的正负）函数奇偶性 单调性的应用。2.进行数学建模，把一个实际问题转化为数学问题，把握好三种语言的转化：文字语言图形语言符号语言。五、课外巩固练习1. 某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖线OC，塔高BC=80(米)，山高OB=220(米)，OA=200(米)，图中所示的山坡可视为直线且点P在直线上，与水平地面的夹角为a，且。试问，此人距山崖的水平地面多高时，观看塔的视角BPC最大(不计此人的身高)？解：如图所示，建立平面直角坐标系，则，直线的方程为，即设点的坐标为，则（）由经过两点的直线的斜率公式，由直线到直线的角的公式得 （）要使达到最大，只须达到最小由均值不等式当且仅当时上式取等号故当时最大这时，点的纵坐标为由此实际问题知，所以最大时，最大故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角最大六、作业布置(略)七、教学设计说明本节课是在学生已经掌握了正弦函数、余弦函数正切函数的图像及性质的前提下，进一步分析和探究余切函数图像和性质及正切函数的图像和性质的应用。因为对于三角函数的研究方法学生已经基本掌握。因此，在实际学习的过程中，学生对通过函数图像研究、观察得函数性质再证明的研究步骤和手段不会感到很陌生，所以淡化了余切函数图像和性质的理论教学。考虑到余切函数与正切函数之间的倒数的关系，所以选取的例题以正切函数为主，重点在于让学生通过解答来理解性质，应用性质，体会到知识的价值取向。本节课在教学技术上没有做媒体课件，主要原因是所涉及到的问题主要是静态的，教师的良好的板书可吸引学生的注意力。当然，做电子黑板可能会增加一点课堂容量，但也要考虑学生的接受能力与速度。 在例题的设计上从最基本的利用单调性比较大小出发，到函数性质的简单应用，再到单调性和周期性的变式训练，由浅入深，层层递进，以积极发挥课堂教学的基础型和研究型功能，培养学生的基础性学力和发展性学力。在课堂教学中教师遵循“以学生为主体”的思想，鼓励学生善于观察和发现；鼓励学生积极思考和探究；鼓励学生大胆猜想，努力营造一个民主和谐、平等交流的课堂氛围，采取启发、对话式教学，调动学生学习的积极性，激发学生学习的热情，使学生较开阔的思维空间，让学生积极参与教学活动，提高学生的数学思维能力。6.1正弦函数和余弦函数的性质（2）上音安师附中 李少保 上海市市北中学 余 化一、教学内容分析正余弦函数的性质（值域、最大（小）值、周期性、奇偶性、单调性）是继学生学习了正余弦函数的图像后的重要内容.是深入学习后继数学知识及解决实际问题的基本工具.尤其是三角函数的周期性在物理学中、科技生产中有着广泛的应用.在本节学习中，涉及到 数形结合、类比、换元、化归等数学思想方法.通过解决有关实际问题，充分显示了三角函数来源于实践需要，同时又广泛应用于客观实际. 本单元重点掌握正（余）弦函数的值域；正（余）弦函数取得最大小值时的自变量的取值集合.理解函数周期性定义，会求一般正（余）弦函数的周期.掌握正（余）弦函数的奇偶性及单调区间.会用正（余）弦函数的性质解决简单的实际问题.二、教学目标设计（1）掌握正（余）弦函数的值域（有界性）.（2）掌握正（余）弦函数取最大（小）值时，自变量x的取值集合.（3）会用正（余）弦函数的值域（有界性）解决相关实际应用问题.三、教学重点及难点 正（余）弦函数取最大（小）值时，自变量x的取值集合.四、教学用具准备教具、学具、多媒体设备五、教学流程设计 正弦函数图像 正弦函数值域正弦函数取最大值时x的取值集合 应用举例 六、教学过程设计正弦函数和余弦函数的值域一、 情景引入 1观察 在上节课中，我们探讨了正余弦函数的图像.请同学们观察图像. 2思考 正余弦函数的值域是什么？值域的涵义是什么? 3讨论回忆正弦函数图像的作图过程.结合正弦线的长度变化情况易得二、学习新课 1概念辨析 y=sinx 的值域是-1，1 当且仅当 当且仅当类似地y=cosx 的值域是-1，1 当且仅当 当且仅当正弦函数、余弦函数的值域相同，但取得最大值1和最小值-1时的x的集合不同. 2例题分析 例1求下列函数的定义域与值域 分析：y=sinx 的定义域为R，值域是-1，1；的定义域应是2xR，即xR，值域是；虽然y=cosx的定义域为R，值域是-1，1.但本题中-2cosx作为二次根式的被开方数，所以-2cosx0，即cosx0.根据余弦比的符号可求得x求值范围，并由0-2cosx2，可得函数值域.解：定义域为R，值域是；定义域为，值域为.例2.见课本例3. 见课本 3问题拓展 关于例2.一般地函数当A0,此时x的取值可由解得,此时x的取值可由解得当A0,此时x的取值可由解得,此时x的取值可由解得关于例3.一般地对于,可化为正弦形式.对于实际问题求最大小值时,要注意角x的取值范围.三、巩固练习1、已知是第四象限角,且求实数m的取值范围.2、函数的值域为-4,2,求a、b的值.3、求函数的定义域和值域.四、课堂小结正（余）弦函数的值域、取得最大（小）值时的x取集合值.五、作业布置1、求函数的值域.2、求函数的最大值、最小值及其相应的x值.3、要在一个半径为R的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，问应如何截取，并求出此矩形的面积.4、求函数的值域