电磁场与电磁波(第5章)OK.ppt

第5章静态场的解 静态场是指场量不随时间变化的场 静态场包括 静电场 恒定电场及恒定磁场 它们是时变电磁场的特例 分析静态场 必须从麦克斯韦方程组这个电磁场的普遍规律出发 导出静态场中的麦克斯韦方程组 即描述静态场特性的基本方程 再根据它们的特性 联合物态方程推导出位函数的泊松方程和拉普拉斯方程 最后 静态场问题可归结为求泊松方程和拉普拉斯方程解的问题 通常求解这两个方程的方法有 镜像法 分离变量法和复变函数法 它们属于解析法 而在近似计算中常用有限差分法 1 静电场 恒定电场 恒定磁场的基本方程 4 镜像法 分离变量法 格林函数法 有限差分法 重点 3 求解静态场位函数方程的方法所依据的理论 对偶原理 叠加原理 唯一性定理 2 静态场的位函数方程 5 1泊松方程和拉普拉斯方程 5 1 1静态场中的麦克斯韦方程组 对于静态场 各场量只是空间坐标的函数 并不随时间而变化 即与时间t无关 因此 静态场的麦克斯韦方程组为 电流连续性方程为 由上述方程组可知 静态场与时变场最基本的区别在于静态场的电场和磁场是彼此独立存在的 即电场只由电荷产生 磁场只由电流产生 没有变化的磁场 也没有变化的电场 既然如此 我们就可以分别写出静电场 恒定电场和恒定磁场的基本方程 1 静电场的基本方程 静电场是静止电荷或静止带电体产生的场 其基本方程为 上式表明 静电场中的旋度为0 即静电场中的电场不可能由旋涡源产生 电荷是产生电场的通量源 另外 电介质的物态方程为 静电场是一个有源无旋场 所以静电场可用电位函数来描述 即 2 恒定电场的基本方程 载有恒定电流的导体内部及其周围介质中产生的电场 即为恒定电场 当导体中有电流时 由于导体电阻的存在 要在导体中维持恒定电流 必须依靠外部电源提供能量 其电源内部的电场也是恒定的 若一闭合路径经过电源 则 即电场强度的线积分等于电源的电动势 若闭合路径不经过电源 则 这是恒定电场在无源区的基本方程积分形式 其微分形式为 从以上分析可知 恒定电场的无源区域也是一个位场 也可用一个标量函数来描述 另外 导体中的物态方程为 3 恒定磁场的基本方程 这是恒定磁场的基本方程 从以上方程可知 恒定磁场是一个旋涡场 电流是这个旋涡场的源 电流线是闭合的 另外 磁介质中的物态方程为 恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场 而且存在磁场 但这个磁场不随时间变化 是恒定磁场 假设导体中的传导电流为I 电流密度为 则有 静电场既然是一个位场 就可以用一个标量函数的梯度来表示它 5 1 2泊松方程和拉普拉斯方程 1 静电场的位函数分布 即 式中的标量函数称为电位函数 所以有 对于均匀 线性 各向同性的介质 为常数 即 静电场的位函数满足的方程 上式即为在有电荷分布的区域内 或者说在有 源 的区域内 静电场的电位函数所满足的方程 我们将这种形式的方程称为泊松方程 如果场中某处有 0 即在无源区域 则上式变为 在直角坐标系中 在圆柱坐标系中 在球坐标系中 2 恒定电场的位函数分布 根据电流连续性方程及物态方程并设电导率为一常数 对应于均匀导电媒质 则有 则有 在无源区域 恒定电场是一个位场 即有 这时同样可以引入一个标量位函数使得 这说明 在无源区域 恒定电场的位函数满足拉普拉斯方程 3 恒定磁场的位函数分布 人为规定 1 磁场的矢量位函数 这个规定被称为库仑规范 于是有 此式即为矢量磁位的泊松方程 恒定磁场是有旋场 即 但它却是无散场 即引入一个矢量磁位后 由于 可得 此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程 在没有电流的区域 所以有 在没有电流分布的区域内 恒定磁场的基本方程变为 2 磁场的标量位函数 这样 在无源区域内 磁场也成了无旋场 具有位场的性质 因此 象静电场一样 我们可以引入一个标量函数 即标量磁位函数 注意 标量磁位的定义只是在无源区才能应用 即令 以上所导出的三个静态场的基本方程表明 静态场可以用位函数表示 而且位函数在有源区域均满足泊松方程 在无源区域均满足拉普拉斯方程 因此 静态场的求解问题就变成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的问题 这两个方程是二阶偏微分方程 针对具体的电磁问题 不可能完全用数学方法求解 在介绍具体的求解方法之前 我们要先介绍几个重要的基本原理 这些原理将成为以后求解方程的理论依据 5 2对偶原理 如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式 并且有相似的边界条件或对应的边界条件 那么它们的数学解的形式也将是相同的 这就是对偶原理 具有同样数学形式的两个方程称为对偶性方程 在对偶性方程中 处于同等地位的量称为对偶量 有了对偶原理后 我们就能把某种场的分析计算结果 直接推广到其对偶的场中 这也是求解电磁场的一种方法 1 0区域的静电场与电源外区域的恒定电场的对偶 2 0区域的静电场与区域的恒定磁场的对偶 5 3叠加原理和唯一性定理 在研究具体的工程电磁场问题时 无论是静电场 恒定电场 还是恒定磁场 都需要根据实际工程中给定的边界条件 通过求解泊松方程或拉普拉斯方程 得到标量电位函数或矢量磁位函数 5 3 1边界条件的分类 给定位函数的边界条件通常有三类 第一类边界条件 直接给定整个场域边界上的位函数值 为边界点S的位函数 这类问题称为第一类边界条件 因为 故上式相当于给定了边界表面的面电荷密度或电场强度的法向分量 这类问题称为第二类边界条件 第二类边界条件 只给定待求位函数在边界上的法向导数值 第三类边界条件 给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合 这是混合边界条件 称为第三类边界条件 5 3 2叠加原理 若和分别满足拉普拉斯方程 即和 则和的线性组合 必然也满足拉普拉斯方程 式中a b均为常系数 5 3 3唯一性定理 唯一性定理可叙述为 对于任一静态场 在边界条件给定后 空间各处的场也就唯一地确定了 或者说这时拉普拉斯方程的解是唯一的 5 4镜象法 镜象法是利用一个与源电荷相似的点电荷或线电荷来代替或等效实际电荷所产生的感应电荷 这个相似的电荷称为镜象电荷 然后通过计算由源电荷和镜象电荷共同产生的合成电场 而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的合成电场 这种方法称为镜象法 一般可以考虑采用标量位函数来计算这个由电荷所产生的合成电场 这样可以避免复杂的矢量运算 当然 这就需要假设镜象电荷与源电荷共同产生了一个总的电位函数 它既能满足给定的具体边界条件 又在一定区域内满足拉普拉斯方程 那么 根据唯一性定理 所假设的位函数就是该区域上的唯一的电位函数 因此 用镜象法求解静电场问题的关键是寻找合适的镜象电荷 然后再引出位函数并求解 这是分析很多电磁问题的一种有效方法 5 4 1点电荷与无限大的平面导体的合成场计算 如图取直角坐标系 使z 0的平面与导体平面重合 并将 q电荷放在z轴上 这时整个电场是静电场 是由电荷q和导体平面上的感应电荷产生的 点电荷q与导体平面之间的电位必须满足下列条件 1 在z 0处 0 因为无限大的导体平面电位为零 2 在z 0的空间里 除了点电荷所在的点外 处处应该满足 用唯一性定理可以验证 这个假设的电位函数就是我们所要求的合成场 如果设想把无限大导电平板撤去 整个空间充满同一种介质 并在点电荷q的对称位置上 放一个点电荷 q来代替导电平板上的感应电荷 那么在z 0空间里任一点p x y z 的电位就应等于源电荷q与镜象电荷 q所产生的电位之和 这时 p点的电位为 1 若将源点电荷换成线电荷 让线电荷的线与平面平行 由于线电荷可以看成是由无限多个连续分布的点电荷组成的 用镜象法同样可计算出在z 0的空间任一点的电位 推广 2 两相交半无限大导体平面 在角区内的点电荷 线电荷的场也可用镜象法求解 3 无限长通电直导线在一无限大磁介质平面上方在空间中一点P的磁场由电流和镜象电流共同产生 4 当天线架设得比较低时 通常把地面假设为无限大的理想导电平面 地面的影响将归结为镜象天线所起的作用 5 4 2电介质分界面的镜象电荷 如图 如果分界面是介电常数为 1和 2的两种无限大介质的边界平面 在介质1中距分界面为h处置有一点电荷q 则求解介质空间中任一点的电场电位分布可以用镜像法求解 设在介质 1和 2内的电位函数分别为 1和 2 在介质1中 除q点处以外 均有 1是点电荷q与介质分界面上感应束缚电荷共同产生的电位函数 介质分界面上的感应束缚电荷在介质1中产生的电场可以用处于z 0的区域内的一个镜像电荷来等效 在介质2中的电场是源电荷通过介质分界面上的感应束缚电荷在下半空间作用的结果 在上半空间用一镜象电荷代替界面上的感应束缚面电荷在下半空间产生的场 则 2为 在介质分界面上 场存在的边界条件是 则 为了求介质1中的场 将整个空间充满 1介质 设在源电荷q对称位置上的镜像电荷为 即 在介质 2中 场是由产生的 将整个空间看成是充满介质 2 则介质 2中的场由在源点电荷上的象电荷产生 在介质1中 界面上p点的电场强度的切向分量 在介质2中 电场是由产生的 电场强度切向分量为 根据边界条件可得 注意 1 镜象电荷不能放在要讨论的区域中 放在被讨论的区域中时将会改变所放置区域的电位分布 所得出的电位将不满足原来的拉普拉斯方程或泊松方程 2 镜像电荷周围的介质应该是与被讨论的区间一致的 3 所得电位函数必须满足原来的边界条件 4 可以用类似的方法来处理两种磁介质分界面两边的磁场计算问题 静态场的镜像法求解 镜象法是利用一个与源电荷相似的点电荷或线电荷来代替或等效实际电荷所产生的感应电荷 这个相似的电荷称为镜象电荷 然后通过计算由源电荷和镜象电荷共同产生的合成电场 而得到源电荷与实际的感应电荷所产生的合成电场 镜像法求解注意 1 镜象电荷不能放在要讨论的区域中 放在被讨论的区域中时将会改变所放置区域的电位分布 所得出的电位将不满足原来的拉普拉斯方程或泊松方程 2 镜像电荷周围的介质应该是与被讨论的区间一致的 3 所得电位函数必须满足原来的边界条件 4 可以用类似的方法来处理两种磁介质分界面两边的磁场计算问题 5 4 3球形边界问题 1 如图 page107 图5 9 接地导体球 半径为a 在球外与球心相距为d的p点处有一点电荷q 点电荷q将在导体球表面产生感应负电荷 球外任一点的电位应等于这些感应电荷与点电荷q产生的电位之和 设想把导体球移开 用一个镜象电荷代替球面上的感应负电荷 为了不改变球外的电荷分布 镜象电荷必须放在导体球内 又由于球对称性 这个镜象电荷必然在点电荷q与球心所在的同一条直线上 又由于靠近点电荷q的球面部分 感应电荷密度大些 所以镜象电荷必定在OM线段上 设在b点 OM b 则位函数表达式为 若考虑球面一点的电位 因为是接地 则 现考虑边界问题目的是要由已知d a q确定的大小 在M N两个特殊点考虑边界 在M点 同理在N点 可求出 可知镜象电荷与源电荷总是极性相反的 确定了镜像电荷的位置和电量大小 则位函数表达式就确定了 采用镜象法后 球面外区域的电位函数相对容易计算 2 如图 page108 图5 10 若导体球不接地 导体球上的静电荷为0 并且球面电位不为0 但仍保持为等位面 为了满足导体球上静电荷为0的条件 还需加入另一镜象电荷 使 即 球面电位为 导体球外各点的电位由q 和共同产生 5 4 4圆柱形边界问题 一无限长带电线 电荷密度为 与半径为a的无限长导电圆柱的轴线平行 线与圆柱轴线的距离为d 无限长导电圆柱等效为接地 利用球形边界的分析方法 导电圆柱体上的镜象线电荷为 镜象线电荷与圆柱轴线的偏心距离为 这样 用镜象线电荷取代圆柱形导电体 就把问题简化为了求两条平行等值异号线电荷的电位和电场 5 5分离变量法 分离变量法是求解拉普拉斯方程的基本方法 该方法把一个多变量的函数表示成为几个单变量函数的乘积后 再进行计算 与完全的数学求解不同 针对具体物理问题使用该方法求解时 将要结合一些物理概念进行分析求解 通过分离变量 它将函数的偏微分方程分解为带 分离 常数的几个单变量的常微分方程 不同坐标系分解出来的单变量常微分方程的形式不同 其通解的形式也不同 坐标系的选择应尽量使场域边界面平行于坐标面 例如 矩形域应选直角坐标系 圆柱形域应选圆柱坐标系 球形域应选球坐标系 5 5 1直角坐标系中的分离变量法 如果所讨论的场域的边界面是平面 而且这些平面相互平行或相互垂直时 应选择直角坐标系 在直角坐标系中 位函数 的拉普拉斯方程为 令 为三个单变量函数的乘积 即 代入上式 并在两端同除以 可得 上式的三项中 每一项都是一个独立变量的函数 而三项之和若要等于0 则只有一个可能 就是每一项分别等于一个常数 而这三个常数之和为0 并且 即令 据此 我们可将拉普拉斯方程分解成三个带分离常数的常微分方程 显然 三个分离常数不可能全为实数 也不能全为虚数 至于将三个常数都假设为是某一个常数平方的负值 是因为要使方程的解成为一些特殊函数 以便于利用边界条件来确定常数 对于上面的式子 其解的形式如下 1 当 即为实数时 其解为 2 当 即为实数时 其解为 3 当 其解为 例题 一长直金属槽的长度方向上平行轴放置 横截面如图所示 其侧壁与底面的电位均为 而顶盖电位 x b x 100sin x 求槽内的电位分布 解 由于槽内场域中没有电荷分布 所以电位函数应满足拉普拉斯方程 又由于场域边界为矩形 应选用直角坐标系 根据 与z无关的条件 该问题满足二维拉普拉斯方程 在直角坐标下 位函数的边值为 0 x a 0 y b x 0 x y b x a x y b y 0 0 x a 0 x a y b 由于 x y 不是z的函数 故分离出的常微分方程中不会有 式 z分量且 式中 即 因此 取值的可能组合及方程 的解形式有三种情况 5 5 2圆柱坐标系中的分离变量法 如果待求场域的分界面与圆柱坐标系中某一坐标面相一致时 应选择圆柱坐标系 在圆柱坐标系中 拉普拉斯方程的表达式为 令待求函数 代入上式 并在两端同除以 再同乘以r2后得 上式中第二项仅与 有关 它应等于常数 设为 n2 即 代入上式后可得 因此便分离出三个常微分方程 它们的解的形式与n2及的取值有关 其可能的组合情况有多种 见Page112 5 6格林函数法 格林函数法是数学物理方法中的基本方法之一 可以用于求解静态场中的拉普拉斯方程 泊松方程以及时变场中的亥姆霍兹方程 在线性电路理论中 为了求一线性电路对任意激励的全响应 我们一般是在求得单位冲击响应的基础上 先求出零状态响应 然后再加上零输入响应 所谓格林函数法就是上述方法在空间域中的应用 边值问题中的单位冲击响应函数就是格林函数 更确切地说 格林函数是单位点源在一定的边界条件下所建立的场的位函数 因而格林函数又称为源函数 已知电荷分布就是已知空间电场激励源的分布 因此只要知道点源的场 即可用叠加原理求出任意源的场 格林函数的解题步骤是 首先用镜像法或其他方法找到与待求问题对应的格林函数 然后将它代入由格林第二恒等式导出的积分公式即得所求 一般情况下 该积分有两项 一项为零边值响应 另一项为零激励响应 对于静电场问题而言 可以从单位点电荷 二维问题对应于单位线电荷 一维问题对应于单位面电荷 在特定边界上产生的位函数 通过积分求得同一边界的任意分布电荷产生的电位 本节以静电场的边值问题为例 说明格林函数法在求解泊松方程中的应用 5 6 1静电场边值问题的格林函数法表达式 假定已知某给定区域V内的电荷体密度 则待求电位 满足泊松方程 与此相对应的格林函数满足下列方程 在上述第一式两端乘与G 在上述第二式两端乘与 二者相减再积分 可得 使用格林第二恒等式 当源点在区域V内时 有 可得 因而 上式可以写为 将上式的源点和场点互换 并且利用格林函数的对称性 得 此式就是有限区域V内任意一点电位的格林函数表示式 式中的格林函数是在给定边界形状下的一般边值问题的格林函数 为了简化计算 我们可以对格林函数附加上边界条件 与静电场边值问题一样 格林函数的边界条件也分为三类 1 第一类边值问题的格林函数 与第一类静电场边值问题相对应的是第一类边值问题的格林函数 用G1表示 它在体积V内和边界面S上满足的方程为 即第一类边值问题的格林函数在边界面S上满足齐次边界条件 将它代入上式 可得出第一类静电场边值问题的解为 与第二类静电场边值问题相对应的是第二类边值问题的格林函数 用G2表示 它在体积V内和边界面S上满足的方程为 2 第二类边值问题的格林函数 在此条件下 第二类静电场边值问题的解为 3 第三类边值问题的格林函数 对于第三类静电场边值问题 使用第三类边值问题的格林函数较为方便 其边界条件由下式确定 与第三类静电场边值问题相应的第三类边值问题的格林函数G3所满足的方程及边界条件为 在此条件下 第三类静电场边值问题的解为 从以上推导过程可看出 格林函数解法的实质是把泊松方程的求解转化为特定边界条件下点源激励时位函数的求解 点源激励下的位函数就是格林函数 格林函数所满足的方程及边界条件都比同类型的泊松方程要简单 5 6 2简单边界的格林函数 下面我们给出一些简单边界形状下第一类静电场边值问题的格林函数 为了书写简便 略去下标 用G表示 1 无界空间的格林函数 计算无界空间的格林函数 就是要计算无界空间中位于r 处的单位点电荷以无穷远为电位参考点时在空间r处的电位 这一电位为 因此 无界空间的格林函数为 这是三维无界空间的格林函数 对于二维无界空间 格林函数为 C是常数 取决于电位参考点的选取 2 上半空间的格林函数 计算上半空间 z 0 的格林函数 就是求位于上半空间r 处的单位点电荷以z 0平面为电位零点时 在上半空间任意一点r处的电位 这个电位可以用平面镜像法求得 因而上半空间的格林函数为 式中 3 球内 外空间的格林函数 我们可以由球面镜像法 求出球心在坐标原点 半径为a的球外空间的格林函数 式中 5 7有限差分法 有限差分法是一种近似数值计算法 在一些工程技术计算中被广泛使用 这种方法是在待求场域内选取有限个离散点 在各个离散点上以差分方程近似代替各点上的微分方程 从而把以连续变量形式表示的位函数方程 转化为以离散点位函数值表示的方程组 结合具体边界条件 求解差分方程组 即得到所选的各个离散点上的位函数值 有限差分法不仅能处理线性问题 还能处理非线性问题 不仅能求解拉普拉斯方程 也能求解泊松方程 不仅能求解任意静态场的问题 也能求解时变场的问题 而且这种方法不受边界形状的限制 函数f x 的一阶差分定义为 f x f x h f x 式中h是自变量x的增量 即 x h 将下面的式子称为f x 的一阶差商 当h很小时 差分 f也很小 因此在近似计算中可用一阶差商近似等于一阶微分 即 二阶差商为 同样可以定义二阶差分为 2f x f x h f x 令二阶差商近似等于二阶微商 差分方程就是在各离散点上 用和近似替代偏微分方程中的和 从而将拉普拉斯方程或泊松方程这样的偏微分方程化为一组代数方程 即差分方程 见Page118例5 2和例5 3 例题