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课时跟踪训练(五十三) 直线与圆、圆与圆的位置关系 基础巩固一、选择题1(2017广东汕头质检)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB()A. B. C D解析抛物线C：y24x的焦点为F，点F的坐标为(1,0)又直线y2x4与C交于A，B两点，A，B两点坐标分别为(1，2)，(4,4)，则(0，2)，(3,4)，cosAFB.故选D.答案D2(2017北京东城期末)过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在解析过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不符合题意设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)，代入抛物线方程y24x，得k2x22(k22)xk20.A，B两点的横坐标之和等于3，3.解得k2，符合题意的直线有且仅有两条故选B.答案B3(2017湖南长沙调研)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()Ay24x By24xCy28x Dy28x解析抛物线y2ax(a0)的焦点F的坐标为，直线l的方程为y2.直线l与y轴的交点为A，OAF的面积为4，解得a8.抛物线的方程为y28x，故选C.答案C4(2017河南三门峡灵宝期末)已知抛物线方程为y22px(p0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线交抛物线于A，B两点，过点A，点B分别作AM，BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M，N两点，那么MFN必是()A锐角 B直角C钝角 D以上皆有可能解析由题意画出图象，如图由抛物线的定义，可知|NB|BF|.所以BNF是等腰三角形因为BNOF，所以NF平分OFB.同理MF平分OFA，所以NFM90.故选B.答案B5(2017黑龙江七台河期末)已知抛物线C：y28x的焦点为F，直线l：x1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B.若3，则|AB|()A20 B16 C10 D5解析由抛物线C：y28x，得F(2,0)设A(1，a)，B(m，n)，且n28m.3，123(m2)，解得m3，n2.a3n，a6，|AB|20.故选A.答案A6(2017湖北襄阳月考)已知抛物线yx2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|NF|，则|MF|()A2 B3 C. D.解析如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|NF|，在NHM中，|NM|NH|，则NMH45.在MFK中，FMK45，所以|MF|FK|.而|FK|1.所以|MF|.故选C.答案C7已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y24x50相切，则p的值为_解析曲线的标准方程为(x2)2y29，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x，由抛物线的准线与圆相切得23，解得p2.答案2二、填空题8(2018武汉模拟)抛物线y24x的焦点为F，倾斜角等于45的直线过F交该抛物线于A，B两点，则|AB|_.解析由抛物线焦点弦的性质，得|AB|8.答案89(2017黑龙江绥化期末)设抛物线y216x的焦点为F，经过点P( 1,0)的直线l与抛物线交于A，B两点，且2，则|AF|2|BF|_.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)P(1,0)，(1x2，y2)，(x11，y1)2，2(1x2，y2)(x11，y1)，x12x23，2y2y1.将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入抛物线方程y216x，得y16x1，y16x2.又2y2y1，4x2x1.又x12x23，解得x2，x12.|AF|2|BF|x142(x24)24215.答案15三、解答题10(2017河北沧州百校联盟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线上一点P的横坐标为2，|PF|3.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F且倾斜角为30的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积解(1)由抛物线定义可知，|PF|23，p2，抛物线C的方程为y24x.(2)由y24x，得F(1,0)，过点F且倾斜角为30的直线方程为y(x1)联立y24x，消去x得y24y40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24，y1y24.SOABSOAFSOFB|y1y2|4.能力提升11(2017辽宁沈阳二中期中)抛物线C：y24x的焦点为F，斜率为k的直线l与抛物线C交于M，N两点若线段MN的垂直平分线与x轴交点的横坐标为a(a0)，n|MF|NF|，则2an()A2 B3 C4 D5解析由题意得F(1,0)，准线方程为x1.线段MN的中点坐标为(x0，y0)由抛物线的定义，得n|MF|NF|xM1xN1xMxN22x02.因为线段MN的垂直平分线方程为yy0(xx0)，令y0，得xky0x0，即aky0x0.由点差法可得ky02，所以x0a2，所以2an2x04(2x02)2.故选A.答案A12(2017北京昌平期末)已知ABC的三个顶点均在抛物线y2x上，边AC的中线BMx轴，|BM|2，则ABC的面积为_解析根据题意设A(a2，a)，B(b2，b)，C(c2，c)，不妨设ac.M为边AC的中点，M.又BMx轴，b.|BM|2，(ac)28，ac2.作AHBM交BM的延长线于H，故SABC2SABM2|BM|AN|2|ab|2ac2.答案213(2017福建厦门期中)设抛物线C：y24x，F为C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点(1)若l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：是一个定值解(1)直线l的斜率为1且过点F(1,0)，直线l的方程为yx1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y得x26x10.0，x1x26，x1x21，|AB|x1x2p8.(2)证明：设直线l的方程为xky1，联立消去x得y24ky40，0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24k，y1y24，(x1，y1)，(x2，y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143.3是一个定值14已知抛物线y22px(p0)，过点C(2,0)的直线l交抛物线于A、B两点，坐标原点为O，12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程解(1)设l：xmy2，代入y22px，得y22pmy4p0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y24p，则x1x24.因为12，所以x1x2y1y212，即44p12，得p2，抛物线的方程为y24x.(2)(1)中(*)式可化为y24my80，y1y24m，y1y28.设AB的中点为M，则|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24，又|AB|y1y2|由得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得m23，m.所以直线l的方程为xy20或xy20.延伸拓展已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py(p0)相交于B、C两点当直线l的斜率是时，4.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y(x4)，即x2y4.由得2y2(8p)y80，又4，y24y1，由及p0得：y11，y24，p2，则抛物线G的方程为x24y.(2)设l：yk(x4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0，x02k，y0k(x04)2k24k.线段BC的中垂线方程为y2k24k(x2k)，线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b2k24k22(k1)2，对于方程，由16k264k0得：k0或k4.b(2，)
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