2019-2020年人教A版高中数学 高三一轮（文） 第三章 3-2同角三角函数的基本关系式与诱导公式《教案》.doc

2019-2020年人教A版高中数学 高三一轮（文） 第三章 3-2同角三角函数的基本关系式与诱导公式教案1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan .2下列各角的终边与角的终边的关系角2k(kZ)图示与角终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角图示与角终边的关系关于y轴对称关于直线yx对称3.六组诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)sin()sin 成立的条件是为锐角()(2)六组诱导公式中的角可以是任意角()(3)若cos(n)(nZ)，则cos .()(4)已知sin ，cos ，其中，则m5或m3.()(5)已知(0，)，sin cos ，则tan 的值为或.()(6)已知tan ，则的值是.()1已知是第二象限角，sin ，则cos .答案解析sin ，是第二象限角，cos .2已知sin()log8，且(，0)，则tan(2)的值为 答案解析sin()sin log8，又(，0)，得cos ，tan(2)tan()tan .3已知cos，则sin .答案解析sinsinsincos.4已知函数f(x)则ff(2 015) .答案1解析ff(2 015)f(2 01515)f(2 000)，f(2 000)2cos2cos 1.题型一同角三角函数关系的应用例1(1)已知cos(x)，x(，2)，则tan x .(2)已知5，则sin2sin cos 的值是 答案(1)(2)解析(1)cos(x)cos x，cos x.又x(，2)，sin x，tan x.(2)由5，得5，即tan 2，sin2sin cos .思维升华(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.(1)已知，那么的值是 (2)已知tan 2，则sin cos .答案(1)(2)解析(1)由于1，故.(2)sin cos .题型二诱导公式的应用例2(1)已知cos，求cos的值；(2)已知2，cos(7)，求sin(3)tan的值思维点拨(1)将看作一个整体，观察与的关系(2)先化简已知，求出cos 的值，然后化简结论并代入求值解(1)，.coscoscos，即cos.(2)cos(7)cos(7)cos()cos ，cos .sin(3)tansin()sin tansin sin cos .思维升华熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键另外，切化弦是常用的规律技巧(1)已知sin，则cos的值为 (2)已知sin 是方程5x27x60的根，是第三象限角，则tan2() .答案(1)(2)解析(1)coscossin.(2)方程5x27x60的根为或2，又是第三象限角，sin ，cos ，tan ，原式tan2tan2.题型三三角函数式的求值与化简例3(1)已知为锐角，且有2tan()3cos()50，tan()6sin()10，则sin 的值是 (2)已知是三角形的内角，且sin cos ，则tan .答案(1)(2)解析(1)2tan()3cos()50化简为2tan 3sin 50，tan()6sin()10化简为tan 6sin 10.由消去sin ，解得tan 3.又为锐角，根据sin2cos21，解得sin .(2)因为sin cos ，所以(sin cos )212sin cos ()2，即2sin cos ，所以(sin cos )212sin cos 1，又2sin cos 0,00，cos 0，故sin cos ，由得所以tan .思维升华在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简(1)若为三角形的一个内角，且sin cos ，则这个三角形是 三角形(填“锐角”“直角”“钝角”)(2)已知tan 2，sin cos 0，则 .答案(1)钝角(2)解析(1)(sin cos )212sin cos ，sin cos 0，为第一象限角或第三象限角又sin cos 0，为第三象限角，由tan 2，得sin 2cos 代入sin2cos21，解得sin .分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用典例：(1)已知A(kZ)，则A的值构成的集合是 (2)在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，则C .思维点拨(1)角中含有整数k，应对k是奇数还是偶数进行讨论；(2)利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论解析(1)当k为偶数时，A2；k为奇数时，A2.A的值构成的集合是2，2(2)由已知得22得2cos2A1，即cos A，当cos A时，cos B，又A、B是三角形的内角，A，B，C(AB).当cos A时，cos B.又A、B是三角形的内角，A，B，不合题意综上，C.答案(1)2，2(2)温馨提醒(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用.方法与技巧同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式1同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍2三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2tan.失误与防范1利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号3注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.A组专项基础训练(时间：40分钟)1是第四象限角，tan ，则sin .答案解析tan ，cos sin ，又sin2cos21，sin2sin2sin21.又sin 0，sin .2若sin，则cos .答案解析，sinsincos.则cos2cos21.3已知sin()2sin()，则sin cos .答案解析由sin()2sin()得sin 2cos ，所以tan 2，所以sin cos .4已知f()，则f的值为 答案解析f()cos ，fcoscoscos .5函数y3cos(x)2的图象关于直线x对称，则的取值是 答案k(kZ)解析ycos x2的对称轴为xk(kZ)，xk(kZ)，即xk(kZ)，令k(kZ)得k(kZ)6如果sin ，且为第二象限角，则sin .答案解析sin ，且为第二象限角，cos ，sincos .7已知为钝角，sin()，则sin() .答案解析由题意可得cos()，又因为为钝角，所以cos()，所以sin()cos()cos().8化简： .答案1解析原式1.9已知sin ，.(1)求tan 的值；(2)求的值解(1)sin2cos21，cos2.又，cos .tan .(2)由(1)知，.10已知sin ，cos 是关于x的方程x2axa0(aR)的两个根，求cos3()sin3()的值(已知：a3b3(ab)(a2abb2)解由已知原方程的判别式0，即(a)24a0，a4或a0.又(sin cos )212sin cos ，则a22a10，从而a1或a1(舍去)，因此sin cos sin cos 1.cos3()sin3()sin3cos3(sin cos )(sin2sin cos cos2)(1)1(1)2.B组专项能力提升(时间：25分钟)1已知sin ，(，)，则sin(5)sin()的值是 答案解析sin ，(，)，cos .原式sin()(cos )sin cos .2已知2tan sin 3，0，则sin .答案解析由2tan sin 3得，3，即2cos23cos 20，又0，解得cos (cos 2舍去)，故sin .3已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2xy0上，则 .答案2解析由题意可得tan 2，原式2.4已知cosa (|a|1)，则cossin的值是 答案0解析coscoscosa.sinsincosa，cossin0.5(1)已知tan ，求的值；(2)化简：.解(1)因为tan ，所以.(2)原式1.6已知f(x)(nZ)(1)化简f(x)的表达式；(2)求f()f()的值解(1)当n为偶数，即n2k(kZ)时，f(x)sin2x；当n为奇数，即n2k1(kZ)时，f(x)sin2x，综上得f(x)sin2x.(2)由(1)得f()f()sin2sin2sin2sin2()sin2cos21.