2019-2020年高三数学《数列通项的求法》教学设计.doc

2019-2020年高三数学数列通项的求法教学设计考纲要求：1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）;2. 能够依据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或.通项；4. 掌握已知的一般方法和步骤.考点回顾：回顾近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考查，往往与等差、等比数列或者与数列其它知识综合考查.一般作为考查其他知识的铺垫知识，因此，如果这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的.基础知识过关：数列的概念1.按照一定 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ，数列中的每一项都和他的 有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常也叫做 ）.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，第n项，数列的一般形式可以写成其中 是数列的第n项，我们把上面数列简记为 .数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为 数列、 数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为 数列、 数列、 数列、 数列.数列的通项公式：1.如果数列的 可以用一个公式 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数 .递推公式;1.如果已知数列的首项（或者前几项），且任意一项（或其前面的项）之间的关系可以 ，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法.数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以 为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1,2,3,)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)f(n)答案：数列的概念1.顺序 项 序号 首项 数列的分类1.有限 无限2.递增 递减 常 摆动 数列的通项公式1.第n项与它的序号n之间的关系 =f(n) 解析式递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*（或它的有限子集）高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最基本的方法，其实质就是通过观察数列的特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1. 已知数列，写出数列的一个通项公式分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律解析：先看符号，第一项有点违反规律，需改写为，由此整体考虑得数列的符号规律是；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小，即所以数列的通项公式为点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可.题型2.定义法求通项直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例2等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式.分析：对于数列，已知是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列公差为成等比数列，即， 由得：，点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项.题型3.应用与的关系求通项有些数列给出的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出。例3. 已知数列的前项和满足求数列的通项公式.分析：由前n项和与的关系即可求得.解析：由当时，有，经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并题型4.利用递推公式求通项对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列.类型1 递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例4. 已知数列满足，求。解析：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，类型2 递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例5. 已知数列满足，求。解析：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，点评：由和确定的递推数列的通项可如下求得：由已知递推式有， ，依次向前代入，得，简记为 ，这就是叠（迭）代法的基本模式。类型3.递推式：解法：只需构造数列，消去带来的差异例6设数列：，求.解析：设，将代入递推式，得（）则,又，故代入（）得点评：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由 ,（）两式相减得转化为求之.类型4 递推公式为（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数）解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。例7. 已知数列中，,，求。解析：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。例8. 已知数列中，,，求。解析：由可转化为即或这里不妨选用（也可选用），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以.点评：已知数列的递推公式求其通项公式，应用到的方法非常多，关键是要分析清楚所给出的递推公式形式，然后选择合理的变形.题型5.待定系数法求通项求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法. 例9.已知数列满足，求数列的通项公式。分析: 本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。解析：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。点评：待定系数法求解数列的通项公式同函数中用待定系数法球函数解析式类似，它要求必须已知或者能够由条件判断出通项公式（解析式）的结构类型.过关训练:通项公式的求法一、 选择题 1已知数列1,2,3,4,n,则3是数列中的第（ ）A13项 B14项 C25项 D26项2设Sn是数列an的前n项和，且Sk+Sk+1=ak+1（kN+），那么此数列是（ ）A递增数列 B递减数列 C常数列 D摆动数列3某油厂今年生产油5吨，计划以后每年比上一年增长16%，按照这个计划生产下去，大约经过（ ）年，可以使该厂的年产量达到今年的9倍.A13 B14 C15 D164在等差数列an中，前n项和是Sn,若mn,Sm=Sn,则下列式子正确的是（ ）Aam=an Bam+n=0 C=0 DSm+n=05. 若数列an满足若，则的值为 （ ）A B C D6.若数列an满足，则等于 （ ）A.1 B.2 C. D. 7.在数列中，则= （ ） A.5 B.-5 C.1 D.-18.已知数列满足，则（ ）A.xxxx B.xxxx C.xxxx D.xxxx9.已知数列的通项公式分别为，（a、b为常数）且ab，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数为 （ ）A.0 B.1 C.2 D.310.已知等差数列的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项公式为 （ ）A.2n-5 B.2n-3 C.2n-1 D.2n+111.已知数列的通项公式为，则3 （ ）A.不是数列中的项 B.只是数列中的第二项C.只是数列中的第六项 D.是数列中的第二项或者第六项12.已知则数列是 （ ）A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列二、填空题13. 已知数列满足，（），则它的通项公式14. 已知数列满足，（2），则的通项，15. 已知是首项为的正项数列，并且，则它的通项公式16. 若中, ,且(是正整数),则数列的通项公式 三、解答题17. 已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.18. 数列a满足a=1，,求数列a的通项公式。19. 数列满足=0，求数列a的通项公式。20. 已知数列满足，求数列的通项公式。21. 已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？22. 数列满足且。求、 是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由。答案与解析一、 选择题1. 解：因为3=，n=13，则3是数列中的第26项.答案：D.2. 解：因为Sk+1Sk=ak+1，又已知Sk+Sk+1=ak+1，所以Sk=0,则a1=0,且a1+a2=0,a2=0,所以an=0.所以数列为常数列.答案:.C3. 解：设经过n年，则5(1+16%)n=45, 即(1+16%)n=9,两边取对数，nlg1.16=lg9，所以n=14.8.答案：C.4. 解：因为mn,Sm=Sn，则Sm=Sn+an+1+an+1+am,所以 an+1+an+1+am=0, 则an+1+am=0, 即a1+am+n=0,所以Sm+n=0.答案：D.5. 解：逐步计算，可得,这说明数列an是周期数列，而, 所以答案：B6.解：由已知即的值以6为周期重复出现，故.答案：C.7.解：由，可得该数列为1，5，4，-1，-5，-4，1，5，4。由此得.答案：D.8.解：=2（xx+xx+2+1）=.答案：A.9.解：设an+2=bn+1,所以（a-b）n+1=0,因为ab,n0,所以（a-b）n+1=0不成立。答案：A.10.解：因为a-1,a+1,2a+3成等差，所以2（a+1）=(a-1)+(2a+3),则a=0,故d=（a+1）-（a-1）=2,首项，所以。答案：B.11.解：设=3，则n=2或者n=6.答案：D.12.解：因为，所以数列为递减数列.答案：B二、 填空题13. 解：，则有，把以上各式两边相加，得，答案：14. 解；本题考查的数列递推公式的求解当2时，（）（）（），其中当时，答案：15. 解：对所给的式子的左边分解因式得，又，故，得公式答案：16. 解:：，两边取对数，得是以为首项，以为公比的等比数列，答案：三、 解答题17. 解：（1）由得：于是所以.上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以18. 解：由得设a，比较系数得解得是以为公比，以为首项的等比数列19. 解：由得即，且是以2为公比，3为首项的等比数列利用逐差法可得 = = = =20. 解法一：由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二：数列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故21. 解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.(1)对于都有(2) 令，得.故数列从第5项开始都不存在，当4，时，.(3)令则对于(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且2.当（其中且N2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且2上取值时，无穷数列都不存在.22. 解：由=81 得=33；又=33得=13；又=13，=5假设存在一个实数，使此数列为等差数列即= = = 该数为常数= 即为首项，d=1的等差数列=2+=n+1 =