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2.2.1 椭圆的标准方程基础达标1椭圆的两个焦点是F1(1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则该椭圆方程是_解析：椭圆的两个焦点是F1(1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，F1F2是PF1与PF2的等差中项，2aPF1PF22F1F24，a2，c1.b2a2c23，故所求椭圆的方程为1.答案：12设M(5,0)，N(5,0)，MNP的周长是36，则MNP的顶点P的轨迹方程为_解析：由于点P满足PMPN36102610，知点P的轨迹是以M、N为焦点，且2a26的椭圆(由于P与M、N不共线，故y0)，故a13，c5，b2144.顶点P的轨迹方程为1(y0)答案：1(y0)3若方程1表示椭圆，则k的取值范围是_解析：由已知得，解得3k0，n0且mn)椭圆经过P1、P2点，P1、P2点的坐标符合椭圆方程，则解得所求椭圆的方程为1.答案：15椭圆1的左，右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为_解析：由椭圆方程知2a8，由椭圆的定义知AF1AF22a8，BF1BF22a8，所以ABF2的周长为16.答案：166与椭圆9x24y236有相同焦点，且2b4的椭圆的标准方程是_解析：椭圆9x24y236化为标准方程1，则焦点在y轴上，且c2945，又因为2b4，则b220，a2b2c225，故所求椭圆的标准方程为1.答案：17已知P是椭圆1上任意一点，F1，F2是两个焦点，且F1PF230，求PF1F2的面积解：由1得a5，b4，c3.F1F22c6，PF1PF22a10.F1PF230，在F1PF2中，由余弦定理得F1FPFPF2PF1PF2cos 30，即62PF2PF1PF2PF2PF1PF2PF1PF2，(2)PF1PF2(PF1PF2)2361003664，即PF1PF264(2)，SPF1F2PF1PF2sin 3064(2)16(2)8已知ABC的三边a、b、c(abc)成等差数列，A、C两点的坐标分别为(1,0)、(1,0)求顶点B的轨迹方程解：设点B的坐标为(x，y)，a、b、c成等差数列，ac2b，即BCBA2AC4.由椭圆的定义知，点B的轨迹方程为1；又abc，ac，BCBA，(x1)2y2(x1)2y2，x0；又当x2时，点B、A、C在同一条直线上，不能构成ABC，x2.顶点B的轨迹方程为1(2x0，m1)，则该椭圆的焦点坐标为_解析：当0m1时，此时焦点在x轴上，a2m，b21，c2a2b2m1，c，故所求方程的焦点坐标为(，0)，(，0)答案：(0，)，(0，)或(，0)，(，0)3若B(8,0)，C(8,0)为ABC的两个顶点，AC、AB两边上的中线和是30，求ABC重心G的轨迹方程解：如图，设CD、BE分别是AB、AC边上的中线，则CDBE30，又G是ABC的重心，BGBE，CGCD，BGCG(BECD)3020.又B(8,0)，C(8,0)，BC16b0)的左、右两个焦点分别为F1、F2.过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M(，1)，求椭圆C的方程解：直线lx轴，M(，1)，F2的坐标为(，0)，由题意知椭圆的焦点在x轴上，标准方程为：1(ab0)可知，解得，所求椭圆C的方程为1.
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