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专题13 三角函数图像与性质一、 考纲要求:会运用基本初等函数的图象分析函数的性质二、 概念掌握及解题上的注意点：1.函数对称的重要结论(1)函数yf(x)与yf(2ax)的图像关于直线xa对称(2)函数yf(x)与y2bf(2ax)的图像关于点(a，b)中心对称(3)若函数yf(x)对定义域内任意自变量x满足：f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图像关于直线xa对称其中(1)(2)为两函数间的对称，(3)为函数自身的对称2.函数图像的常用画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点，进而直接作出图象。(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象(3)图象变换法：若函数图像可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作出3.已知函数解析式选图，从函数的下列性质考虑4.函数图像应用的常见题型与求解方法(1)研究函数性质：根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值.从图像的对称性，分析函数的奇偶性.从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.从图与x轴的交点情况，分析函数的零点等.(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图像的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解.(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.三、 高考题例分析：例1. (2017全国卷)函数f(x)sin的最小正周期为()A4B2C DC解析：函数f(x)sin的最小正周期T.故选C 例2.(2016全国卷)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为()A4B5C6D7例3.(2017全国卷)设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在单调递减 D解析：A项，因为f(x)cos的周期为2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为2，A项正确B项，因为f(x)cos图象的对称轴为直线xk(kZ)，所以yf(x)的图象关于直线x对称，B项正确C项，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，当k1时，x，所以f(x)的一个零点为x，C项正确D项，因为f(x)cos的递减区间为(kZ)，递增区间为(kZ)，所以是减区间，是增区间，D项错误故选D例4.（2018北京卷）设函数f（x）=cos（x）（0），若f（x）f（）对任意的实数x都成立，则的最小值为解析：函数f（x）=cos（x）（0），若f（x）f（）对任意的实数x都成立，可得：，kZ，解得=，kZ，0则的最小值为：故答案为：例5.（2018天津卷）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间，上单调递增B在区间，上单调递减C在区间，上单调递增D在区间，2上单调递减例6.（2018江苏卷）已知函数y=sin（2x+）（）的图象关于直线x=对称，则的值是解析：y=sin（2x+）（）的图象关于直线x=对称，2+=k+，kZ，即=k，当k=0时，=，故答案为：三角函数图像与性质练习一、 选择题：1函数y的定义域为()A B(kZ)C(kZ) DRC解析：由cos x0，得cos x，2kx2k，kZ.2下列函数中，周期为的奇函数为()Aysin xcos xBysin2xCytan 2xDysin 2xcos 2x3已知函数f(x)sin xacos x的图象关于直线x对称，则实数a的值为()ABC DB解析：由x是f(x)图象的对称轴，可得f(0)f，即sin 0acos 0sinacos，解得a.4已知函数f(x)sin1(0)的最小正周期为，则f(x)的图象的一条对称轴方程是()AxBxCxDx5已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围可以是()A BCD(0,2A解析：由x，0得x，由题意结合选项，令，所以所以.6函数ysin在区间上的简图是()A解析：令x0，得ysin，排除B，D.由f0，f0，排除C7函数f(x)tan x(0)的图象的相邻两支截直线y2所得线段长为，则f的值是() ABC1 DD解析：由题意可知该函数的周期为，所以，2，f(x)tan 2x，所以ftan.8(2016全国卷)将函数y2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin9若函数ycos(N*)图象的一个对称中心是，则的最小值为()A1B2C4D8B解析：由题意知k(kZ)6k2(kZ)，又N*，所以min2.10已知函数f(x)sin，将其图象向右平移(0)个单位长度后得到的函数为奇函数，则的最小值为()A BC DB解析：由题意，得平移后的函数为ysinsin，则要使此函数为奇函数，则2k(kZ)，解得(kZ)，由0，得的最小值为，故选B.11.已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为4，且xR，有f(x)f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是()A BC D12.(2017天津高考)设函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，|.若f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，则()A，B，C，D，A解析：f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，f(x)的最小正周期为43，f(x)2sin.2sin2，得2k，kZ.又|，取k0，得.故选A二、 填空题 13已知下列函数：f(x)2sin；f(x)2sin；f(x)2sin；f(x)2sin.其中，最小正周期为且图象关于直线x对称的函数的序号是_14若函数f(x)sin(0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0，则x0_. 解析：由题意得，T，2.又2x0k(kZ)，x0(kZ)，而x0，所以x0.15如图，某地一天614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b(|)，则这段曲线的函数解析式可以为_y10sin20(6x14)解析：由图知A10，b20，T2(146)16，所以，所以y10sin20，把点(10,20)代入，得sin0，因为|，则可以取，所以这段曲线的函数解析式可以为y10sin20，x6,1416已知角的终边经过点P(4,3)，函数f(x)sin(x)(0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为_.三、 解答题; 17已知函数f(x)2sincossin(x)(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，上的最大值和最小值解(1)f(x)2sincossin(x)cos xsin x2sin，于是T2.(2)由已知得g(x)f2sin.x0，x，sin，g(x)2sin1,2故函数g(x)在区间0，上的最大值为2，最小值为1.18已知函数f(x)(sin xcos x)2cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2xsin1，所以函数f(x)的最小正周期为T.19已知函数y2sin.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象解(1)y2sin的振幅A2，最小正周期T，初相.(2)令X2x，则y2sin2sin X.列表：xX02ysin X01010y2sin02020描点画图：20已知函数yAsin(x)(A0，0)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的递增区间21.(2016天津高考)已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)的定义域为.f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，则函数y2sin z的单调递增区间是，kZ.由2k2x2k，得kxk，kZ.设A，B，易知AB.所以，当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减22(2017山东高考)设函数f(x)sinsin，其中03，已知f0.(1)求；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的最小值(2)由(1)得f(x)sin ，所以g(x)sinsin.因为x，所以x.当x，即x时，g(x)取得最小值.
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