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第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图课时作业A组基础对点练1.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的正视图、侧视图、俯视图是(用代表图形)()ABC D解析：正视图应为边长为3和4的长方形，且正视图中右上到左下的对角线应为实线，故正视图为；侧视图应为边长为4和5的长方形，且侧视图中左上到右下的对角线应为实线，故侧视图为；俯视图应为边长为3和5的长方形，且俯视图中左上到右下的对角线应为实线，故俯视图为，故选B.答案：B2一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为()A8B4C4 D4解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形因此，侧视图是一个长为4，宽为的矩形，其面积S44.答案：B3某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为()A3 B2C. D2解析：由三视图得，该几何体是四棱锥PABCD，如图所示，ABCD为矩形，AB2，BC3，平面PAD平面ABCD，过点P作PEAD，则PE4，DE2，所以CE2，所以最长的棱PC2，故选B.答案：B4某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A124 B188C28 D208解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图则该几何体的表面积为S22242224208，故选D.答案：D5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A(253) B(253)C(293) D(293)解析：由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以该几何体的表面积为(12)2243168(253)，故选B.答案：B6(2017长沙模拟)某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A BC D解析：若图是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图不合要求；若图是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图不合要求，故选A.答案：A7(2018石家庄市模拟)某几何体的三视图如图所示，则其体积为()A. BC. D解析：由几何体的三视图知，该几何体的一部分是以腰长为1的等腰直角三角形为底面，高为3的三棱锥，另一部分是底面半径为1，高为3的圆锥的四分之三所以几何体的体积为3113，故选D.答案：D8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168 B88C1616 D816解析：由三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图其中长方体的长、宽、高分别是4,2,2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4.长方体的体积V142216，半个圆柱的体积V22248.这个几何体的体积是168.答案：A9一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A16 B12C14 D17解析：根据三视图可知几何体是一个球体切去四分之一，则该几何体的表面是四分之三球面和两个截面(半圆)由题意知球的半径是2，该几何体的表面积S4222216.答案：A10一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为()A. m3 B m3C. m3 D m3解析：由三视图可知，几何体为如图所示的几何体，其体积为3个小正方体的体积加三棱柱的体积，所以V3(m3)，故选A.答案：A11球面上有A，B，C三点，球心O到平面ABC的距离是球半径的，且AB2，ACBC，则球O的表面积是()A81 B9C. D解析：由题意可知，AB为ABC的外接圆的直径，设球O的半径为R，则R2()2()2，可得R，则球的表面积S4R29.故选B.答案：B12某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：将三视图还原成直观图，得到如图所示几何体，设BC的中点为G，连接AG，DG，ABC是一个边长为2的等边三角形，其高AG.该几何体可以看成一个三棱锥与一个四棱锥组合而成该几何体的体积VV三棱锥DABGV四棱锥ADECGSABGDGS四边形DECGAG1221.答案：13某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：由题意得到几何体的直观图如图，即从四棱锥PABCD中挖去了一个半圆锥其体积V222122.答案：14.某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为2 cm的半圆，虚线是等腰三角形的两腰)，俯视图是一个半径为2 cm的圆(包括圆心)，则该零件的体积是_解析：依题意得，零件可视为从一个半球中挖去一个小圆锥所剩余的几何体，其体积为232214(cm3)答案：4 cm3B组能力提升练1若三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，ABSASBSC2，则该三棱锥的外接球的表面积为()A. BC. D解析：在等腰直角三角形ABC中，AB是斜边且AB2，取AB的中点D，连接CD，SD.CDADBD1.又SASBSC2，SDAB，且SD，在SCD中，SD2CD2SC2，SDCD，SD平面ABC.三棱锥SABC的外接球球心在SD上，记为O，设球半径为R，连接OA，则SOOAR，在RtAOD中，AD1，ODR，AOR，12(R)2R2R，三棱锥SABC的外接球的表面积S4R24()2.故选A.答案：A2一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B. C.D.解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以其体积为23222111.故选D.答案：D3.如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为45，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形ABBA为矩形，若沿AA将其侧面剪开，其侧面展开图的形状大致为()解析：过AB作平行于底面的半平面，如图，取截面边界上任一点P，过P作PP垂直于半平面，垂足为P，延长PP交圆柱底面于点P1，过P作PMAB，垂足为M，连接MP，则MPAB，PMP就是截面与底面所成的角，PMP45，设AB的中点为O，连接OP.设lx，则AOPx，在RtPPM中，PPMP，在RtOPM中，MPOPsinMOPsin x，PPsin x，PP1AAsin x，故选A.答案：A4如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是()A4 B5C3 D3解析：作出直观图如图所示，通过计算可知AF最长且|AF|3.答案：D5.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的()A. BC. D解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为2(24)6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的，故选C.答案：C6(2018昆明市检测)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面面积，“势”是几何体的高意思是：若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等现有一旋转体D(如图1所示)，它是由抛物线yx2(x0)，直线y4及y轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周形成的几何体，旋转体D的参照体的三视图如图2所示，利用祖暅原理，则旋转体D的体积是()A. B6C8 D16解析：由三视图知参照体是一个直三棱柱，其体积V448，故旋转体D的体积为8，故选C.答案：C7如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A27 B48C64 D81解析：由三视图可知该几何体为三棱锥，该棱锥的高VA4，棱锥底面ABC是边长为6的等边三角形，作出直观图如图所示因为ABC是边长为6的等边三角形，所以外接球的球心D在底面ABC上的投影为ABC的中心O，过D作DEVA于E，则E为VA的中点，连接OD，OA，DA，则DEOA32，AEVA2，DA为外接球的半径，所以DA4，所以外接球的表面积S4r264.故选C.答案：C8(2018天津测试)若一个几何体的表面积和体积相同，则称这个几何体为“同积几何体”已知某几何体为“同积几何体”，其三视图如图所示，则a()A. BC. D82解析：根据几何体的三视图可知该几何体是一个四棱柱，如图所示，可得其体积为(a2a)aaa3，其表面积为(2aa)a2a2a22aaaa7a2a2，所以7a2a2a3，解得a，故选A.答案：A9.(2018郑州质检)如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为()A8B16C32D64解析：还原三视图可知该几何体为一个四棱锥，将该四棱锥补成一个长、宽、高分别为2，2，4的长方体，则该长方体外接球的半径r2，则所求外接球的表面积为4r232.答案：C10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A182 B20C20 D16解析：由三视图可知，这个几何体是一个棱长为2的正方体割去了两个半径为1、高为1的圆柱，其表面积相当于正方体五个面的面积与两个圆柱的侧面积的和，即该几何体的表面积S45221120，故选B.答案：B11(2018南昌模拟)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的一条侧棱的长度是_解析：由题意可知该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥，梯形的两底边长分别为4,2，高为3，棱锥的高为2，所以最长侧棱的长度为.答案：12在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则该三棱锥外接球的表面积为_解析：设相互垂直的三条侧棱AB，AC，AD分别为a，b，c，则ab，bc，ac，解得a，b1，c.所以三棱锥ABCD的外接球的直径2R，则其外接球的表面积S4R26.答案：613一个直三棱柱被削去一部分后的几何体ABCDE及其侧视图、俯视图如图所示，其中侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形设M是BD的中点，点N在棱DC上，且MN平面BDE，则CN_.解析：由题意可得，DC平面ABC，所以DCCB.若MN平面BDE，则MNBD.又因为MDNCDB，所以DMNDCB，所以，故，解得DN3，所以CNCDDN1.答案：114(2018武汉市模拟)棱长均相等的四面体ABCD的外接球半径为1，则该四面体的棱长为_解析：将棱长均相等的四面体ABCD补成正方体，设正方体的棱长为a，则正四面体ABCD的棱长为a，正方体的体对角线长为a，由a2a，则a.答案：
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