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专题07 函数的图象【考点剖析】1.命题方向预测：从近几年的高考试题来看，主要考查图象的辨识以及利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象及应用.预测2019年高考对本节内容的考查仍将以函数图象识别与函数图象的应用为主，依然体现“有图考图”“无图考图”的原则，题型仍为选择题或填空题的形式备考时要求熟练掌握各种基本初等函数的图象及性质，增强函数性质的应用意识，另外还应熟练掌握各种图象变换的法则.2.课本结论总结：（1）画函数图象的一般方法描点法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出，其步骤为：先确定函数的定义域，化简给定的函数解析式，再根据化简后的函数解析式研究函数的值域、单调性、奇偶性、对称性、极值、最值，再根据函数的特点取值、列表，描点，连线，注意取点，一定要包括关键点，如极值点、与轴的交点等图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响（2）常见的图象变换平移变换：左右平移：函数的图象可由函数的图象向左（+）或向右（）平移个单位得到；上下平移：（）的图象可由函数的图象向上（+）或向下（）平移个单位得到；伸缩变换函数是将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到；函数是将函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍的得到；对称变换函数图象关于轴对称得到函数图象；函数图象关于轴对称得到函数图象；函数图象关于原点对称得到函数图象；函数图象关于直线对称得到函数为图象翻折变换函数的图象这样得到：函数在轴右侧的图象保持不变，左侧的图象去掉后，再将右侧的图象翻折到轴左侧（函数为偶函数，其图象关于轴对称）;函数的图象是这样得到的：函数在轴上方的图象保持不变，把下方的图象关于轴对称到上方（注意到函数的函数值都大于零）3.名师二级结论：（1）函数图象的几个应用判断函数的奇偶性、确定单调区间：图象关于原点对称是奇函数，图象关于y轴对称是偶函数.图象从左到右上升段对应的的取值范围是增区间，下降对应的的取值范围是减区间.方程的根就是函数与函数图象交点的横坐标.不等式的解集是函数的图象在函数图象上方的一段对应的的取值范围（交点坐标要通过解方程求得）（2）函数的图象的对称性若函数关于对称对定义域内任意都有=对定义域内任意都有=是偶函数；函数关于点（，0）对称对定义域内任意都有=是奇函数；若函数对定义域内任意都有,则函数的对称轴是；若函数对定义域内任意都有,则函数的对称轴中心为；函数关于对称.(3) 明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换函数解析式的等价变换研究函数的性质4.考点交汇展示： (1)与参数范围问题交汇例1.函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A）， （B），（C）， （D），【答案】C (2)与函数性质交汇例2.【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是A. B. C. D. 【答案】D (3)与函数零点问题交汇例3.【2018届重庆市綦江中学高三高考适应性考试】已知函数 若关于的方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围为A B C D 【答案】B【解析】当时，方程可化为，即，故或，可得，至少有一个根，记，显然函数在和上单调递增，只需函数 的图象及直线有一个交点，由图可知，当或时，直线与函数的图象有一个交点；当 时，直线与函数的图象有两个交点；当 时直线与函数的图象有三个交点综上，当或时，方程有两个不同的实根，实数的取值范围为，故选B .（4）与不等式交汇例4【2018年高考专家猜题卷】已知函数，且，若，则实数，的大小关系是（ ）A B C D 【答案】C【解析】同一坐标系内，分别作出函数 的图象，如图， 【考点分类】考向一 函数图象的识别1.已知函数，则函数的大致图象是（ ）A B C D 【答案】D 2.【2018届河南省郑州外国语学校第十五次调研】已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：由函数图象可知，函数图象关于轴对称，可得函数是偶函数，逐一判断选项中函数的奇偶性即可的结果. 详解：由函数图象可知，函数图象关于轴对称，函数是偶函数，对，函数不是偶函数；对，函数不是偶函数；对，函数不是偶函数；对，是偶函数，故选D.3.【2018届山东省潍坊市青州市三模】函数在区间上的图象大致为（ ）A B C D 【答案】B【解析】【方法规律】1.识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.（4）利用函数本身的性能或特殊点（与、轴的交点，最高点、最低点等）进行排除验证.2.函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项【解题技巧】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项【易错点睛】1.函数图象左右平移平移的长度单位是加在上，而不是加在上，处理左右平移问题要注意平移方向与平移的长度单位.2.在图象识别中忽视函数的定义域或有关性质分析不到位导致解题出错.例 已知定义域为0,1上的函数图象如下图左图所示，则函数的图象可能是（ ）【错解】先将的图象沿y轴对折得到的图象，再将所得图象向左平移1个长度单位就得到函数的图象，故选A.【错因分析】没有掌握图象变换，图象平移长度单位是加在上，而不是加在上，本例因=，故先做对称变换后，应向右平移1长度单位.【预防措施】先将所给函数化为形式，若先做伸缩变换，再作平移变换，注意平移方向和平移单位.【正解】因=,先将的图象沿y轴对折得到的图象，再将所得图象向右平移1个长度单位就得到函数的图象，故选B.考向2 函数图象的应用1.【2018届河北省衡水中学6月1日适应性训练】已知实数，则（ ）A B C D 【答案】C【解析】 2.【2018届二轮优选整合】若函数yf(x)的图象上存在不同的两点M、N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数yf(x)的一对“和谐点对”(点对(M，N)与(N，M)看作同一对“和谐点对”)已知函数f(x)则此函数的“和谐点对”有( )A 1对 B 2对 C 3对 D 4对【答案】B【解析】作出的图象如图所示，由题意可得函数f(x)的“和谐点对”数即为函数和函数的图象的交点个数由图象知，函数f(x)有2对“和谐点对”3.【2019届安徽省肥东县高级中学8月调研】已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【解析】由图可得：当时，满足条件；由时与相切得： 0时，满足条件；故，故选：D【方法规律】1研究函数的性质时一般要借助函数图象，体现了数形结合思想2有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解3方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解【解题技巧】1.为了更好的利用函数图象解题，准确的作出函数的图象是解题关键，要准确的作出图象必须做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数 函数、对数函数、幂函数、形如的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程.2利用函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等3利用函数的图象研究方程根的分布或求根的近似解对所给的方程进行变形，转化为两个熟悉的函数的交点问题，作出这两个函数的图象，观察出交点个数即为方程解的个数，或找出解所在的区间或结合图象由解的个数找出参数满足的条件，从而求出参数的范围或参数的值【易错点睛】一个函数的图象关于原点(y轴)对称与两个函数的图象关于原点(y轴)对称不同，前者是自身对称，且为奇(偶)函数，后者是两个不同的函数对称例 已知函数的定义域为R，则函数与函数的图象关于（ ）A直线=0对称 B.直线=0对称 C.直线对称 D.直线=2对称【错解】函数定义在实数集上，且，函数的图象关于直线=0对称，故选B.【错因分析】错用函数自身对称的结论处理两个函数对称问题.【预防措施】首先分析要解决的对称问题是自身的对称问题还是两个函数的对称问题，其次要掌握判断函数自身对称的方法和判断两个函数对称的方法.【正解】函数的图象是将函数的图象向右平移2个单位得到，而函数=的图象是先将的图象关于=0对称变换得到的图象，再将的图象向右平移2个单位得到，因此函数与函数关于=2对称，故选D. 【热点预测】1.【2018届甘肃省天水市第一中学高三上第一次月考】函数的大致图像为()A. B. C. D. 【答案】C 2.【2018届河北省武邑中学四模】已知函数 ，在的大致图象如图所示，则可取（ ）A B C D 【答案】B【解析】 3.【2018届北京市十一学校三模】下列函数图象不是轴对称图形的是（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：根据常见函数的图象即可判断.解析：对A，为轴对称图形，其对称轴为y=x或y=-x；对B，不是轴对称图形；对C，在为轴对称图形，对称轴为；对D，为轴对称图形，其对称轴为x=0.故选：B. 4.【2018届湖南省张家界市三模】在同一直角坐标系中，函数， （，且）的图象大致为（ ） A B C D 【答案】A5.偶函数满足,且在时，则关于的方程在上的根的个数是A3 B4 C5 D6【答案】【解析】由题意可得，.即函数为周期为的周期函数，又是偶函数，所以，在同一坐标系内，画出函数，的图象，观察它们在区间的交点个数，就是方程在上根的个数，结合函数图象的对称性，共有个交点，故选.6.【2018届山东省滕州市第三中学高三一轮复习】已知函数f（x）= ，若关于x的方程f（f（x）=a存在2个实数根，则a的取值范围为（）A. 24，0） B. （，24）0，2）C. （24，3） D. （，240，2【答案】B,7.【2018届四川省成都市第七中学三诊】定义函数，则函数在区间（）内所有零点的和为（ ）A B C D 【答案】D【解析】由得，故函数的零点即为函数和函数图象交点的横坐标由可得，函数是以区间为一段，其图象为在水平方向上伸长为原来的2倍，同时在竖方向上缩短为原来的从而先作出函数在区间上的图象，再依次作出在上的图象（如图）8.【2019届湖南省长郡中学第一次月考】若定义在上的偶函数满足且时，则方程的零点个数是（ ）A 个 B 个 C 个 D 个【答案】C【解析】因为数满足，所以周期当时，且为偶函数，所以函数图像如下图所示由图像可知，方程有四个零点所以选C9.【2018年高考专家猜题卷】已知函数，且，若，则实数，的大小关系是（ ）A B C D 【答案】C【解析】同一坐标系内，分别作出函数 的图象，如图， 10.【2018届宁夏石嘴山市第三中学四模】对于实数a，b，定义运算“*”：a*b,设f (x)(x4)*，若关于x的方程|f (x)m|1(mR)恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是_【答案】(1,1)(2,4)【解析】解不等式x44得x0，f（x）=，画出函数f（x）的大致图象如图所示 10.【2018届山东省临沂市沂水县第一中学三轮】已知定义在上，且周期为2的函数满足，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D 【答案】C【解析】先画出函数f(x)在一个周期-1,1上的图像，再把函数的图像按照周期左右平移得到函数f(x)在原点附近的图像，如图所示， 11.【2018届湖北省宜昌市一中考前训练2】定义在实数集上的函数满足，当时，则函数的零点个数为_【答案】.【解析】定义在上的函数，满足，上的偶函数，因为满足，函数为周期为的周期函数，且为上的偶函数，因为时，所以，在上递增，且值域为根据周期性及奇偶性画出函数的图象和的图象，如图，根据的图象在上单调递增函数，当时，当时，的图象与函数无交点，结合图象可知有个交点，故答案为.12.已知函数，设，若，则的取值范围是 .【答案】13.已知函数，则方程恰有两个不同实数根时，实数的取值范围是 .【答案】【解析】方程恰有两个不同实数根，与有2个交点，表示直线的斜率，设切点为，所以切线方程为，而切线过原点，所以，所以直线的斜率为，直线与平行，所以直线的斜率为，所以当直线在和之间时,符合题意，所以实数的取值范围是，还有一部分是在的位置向下旋转一直到转平为止都符合题意，这时实数的取值范围是，所以综上所述，实数的取值范围是.14.【2018届宁夏银川一中高三上第二次月考】已知若关于的方程有四个实根，则四根之和的取值范围_【答案】
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