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大题分层练(八)解析几何、函数与导数(D组)1.过椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)右焦点F(1,0)的直线与椭圆C交于A,B两点,自A,B向直线x=5作垂线,垂足分别为A1,B1,且|AA1|AF|=5.(1)求椭圆C的方程.(2)记AFA1,FA1B1,BFB1的面积分别为S1,S2,S3,证明:S1S3S22是定值,并求出该定值.【解析】(1)设A(x,y),则|AA1|=|5-x|,|AF|=(x-1)2+y2,由|AA1|AF|=5,得x25+y24=1,而A是椭圆C上的任一点,所以椭圆C的方程为x25+y24=1.(2)由题意知,直线AB的斜率不可以为0,而可以不存在,所以可设直线AB的方程为x=my+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由x=my+1,x25+y24=1,得(4m2+5)y2+8my-16=0,所以y1+y2=-8m4m2+5,y1y2=-164m2+5.由题意得,S1=12|AA1|y1|=12|5-x1|y1|,S3=12|BB1|y2|=12|5-x2|y2|,S2=12|A1B1|4=2|y1-y2|,所以S1S3S22=116(5-x1)(5-x2)(-y1y2)(y1-y2)2=116(4-my1)(4-my2)(-y1y2)(y1-y2)2=-116y1y216-4m(y1+y2)+m2y1y2(y1+y2)2-4y1y2,将代入,化简并计算可得S1S3S22=14,所以S1S3S22是定值,且该定值为14.2.已知函数f(x)=ln x-a2x2+ax(aR).(1)求f(x)的单调区间与极值.(2)若函数在区间(1,+)上单调递减,求实数a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)=ln x-a2x2+ax的定义域为(0,+),f(x)=1x-2a2x+a=-2a2x2+ax+1x=-(2ax+1)(ax-1)x.当a=0时,f(x)=1x0,所以f(x)的单调递增区间为(0,+),此时f(x)无极值.当a0时,令f(x)=0,得x=1a或x=-12a(舍去).f(x)的单调递增区间为0,1a,单调递减区间为1a,+,所以f(x)有极大值为f 1a=-ln a,无极小值.当a0时,f(x)的单调递减区间为1a,+,依题意,得1a1,a0,得a1.当a0时,f(x)的单调递减区间为-12a,+,依题意,得-12a1,a0,即a-12.综上,实数a的取值范围是-,-121,+).
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