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课堂达标(二十二) 正弦定理和余弦定理及应用A基础巩固练1在ABC中，A60，B75，a10，则c等于()A5B10C.D5解析由ABC180，知C45，由正弦定理得，即，c.答案C2(2017山东)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是()Aa2b Bb2aCA2B DB2A解析sin(AC)2sin Bcos C2sin Acos Ccos Asin C，所以2sin Bcos Csin Acos C2sin Bsin A2ba，选A.答案A3.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于() A5 B15C5 D15解析在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB1515.故选D.答案D4(2018湖南衡阳第二次联考)已知ABC的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是()A.B. C.D.解析设三边：x1，x，x1，所以：，所以：cos Ax5，三边为：4,5,6，所以cos A.答案B5(2018西安模拟)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，且sin2Bsin2C，则ABC的形状为()A等腰三角形 B锐角三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析由bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin Asin2A，在三角形中sin A0，sin A1，A90，由sin2Bsin2C，知bc，综上可知ABC为等腰直角三角形答案D6(2018厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为( )A. B.C. D.解析由题意得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a20.则cos A0，0A，0A.因此角A的取值范围是.答案D7在ABC中，已知sin Asin B1，c2b2bc，则三内角A、B、C的度数依次是_解析由题意知ab，a2b2c22bccos A，即2b2b2c22bccos A，又c2b2bc，cos A，A45，sin B，B30，C105.答案45，30，1058(2018惠州模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为_解析由余弦定理，得cos B，结合已知等式得cos Btan B，sin B，B或.答案或9(2017浙江)已知ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连结CD，则BDC的面积是_，cosBDC_.解析取BC中点E，DC中点F，由题意：AEBC，BFCD，ABE中，cosABC，cosDBC，sinDBC，SBCDBDBCsinDBC.又cosDBC12sin2DBF，sinDBF，cosBDCsinDBF，综上可得，BCD面积为，cosBDC.答案；10(2018哈尔滨模拟)“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D)当返回舱在距地面1万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东60方向，仰角为60，B救援中心测得飞船位于其南偏西30方向，仰角为30，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向(1)求B，C两救援中心间的距离；(2)求D救援中心与着陆点A间的距离解(1)由题意知PAAC，PAAB，则PAC，PAB均为直角三角形在RtPAC中，PA1，PCA60，解得AC，在RtPAB中，PA1，PBA30，解得AB，又CAB90，BC万米(2)sinACDsinACB，cosACD，又CAD30，所以sinADCsin(30ACD)，在ADC中，由正弦定理，得AD万米B能力提升练1(2018贵州模拟考试)已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2，B45，若三角形有两解，则a的取值范围是()Aa2 B0a2C2a2 D2a2解析由ACb2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，当A90时，圆与AB相切；当A45时交于B点，也就是只有一解，45A135，且A90，即sin A1，由正弦定理以及asin Bbsin A可得：a2sin A，2sin A(2,2)a的取值范围是(2,2)故选：C.答案C2(2018宁波模拟)某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离，他站在地面C处，利用皮尺是得BC9米，利用测角仪器得仰角ACB45，测得仰角BCD后通过计算得到sinACD，则AD的距离为()A2米 B2.5米C3米 D4米解析设ADx，则BD9x，CD，在ACD中，应用正弦定理得，即，所以292(9x)226x2，即818118xx213x2，所以2x23x270，即(2x9)(x3)0，所以x3(米)答案C3(2018潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌时长为50 s，升旗手应以_m/s的速度匀速升旗解析依题意可知AEC45，ACE1806015105，EAC1804510530.由正弦定理可知，ACsinCEA20 m.在RtABC中，ABACsinACB2030 m，国歌时长为50 s，升旗速度为0.6 m/s.答案0.64在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin Bbcos A若a4，则ABC周长的最大值为_解析由正弦定理，可将asin Bbcos A转化为sin Asin Bsin Bcos A.又在ABC中，sin B0，sin Acos A，即tan A.0A，A.由余弦定理得a216b2c22bccos A(bc)23bc(bc)232，则(bc)264，即bc8(当且仅当bc4时等号成立)ABC周长abc4bc12，即最在值为12.答案125(2018深圳市二模试卷)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，2basin Bbcos A，c4.(1)求A；(2)若D是BC的中点，AD，求ABC的面积解(1)2basin Bbcos A，可得：2sin Bsin Asin Bsin Bcos A，由于sin B0，可得：2sin Acos A，sin1，A(0，)，可得：A，A，解得：A(2)设BDCDx，则BC2x，由于cos A，可得：4x2b24b16，ADB180ADC，cosADBcosADC0，0，可得：2x2b22，联立可得：b24b120，解得：b2SABCbcsin A242.C尖子生专练(2018广东深圳4月调研)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.(1)求角A的值；(2)若B，且ABC的面积为4，求BC边上的中线AM的大小解(1)由正弦定理：，又由已知，所以，tan A，因为A(0，)，所以A.(2)由已知B，则ABC是等腰三角形，C，设ACBC2a，SABCACBCsinACB(2)2sina2，由已知ABC的面积为4，得a24，a2，ACM中，由余弦定理，AM2CA2CM22CACM cos422222428，所以AM2.
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