实对称矩阵对角化.ppt

5 4实对称矩阵的对角化 一 对称矩阵的性质 4个Th 二 利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 定理1实对称矩阵的特征值为实数 证明 一 对称矩阵性质 于是有 两式相减 得 定理1的意义 说明 本节所提到的对称矩阵 除非特别说明 均指实对称矩阵 证明 于是 一 对称矩阵性质 定理1 实对称矩阵的特征值为实数 定理1的意义 证明 它们的重数依次为 由定理1 对称矩阵的特征值为实数 和定理3得 设的互不相等的特征值为 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交 这样的特征向量共可得个 故这个单位特征向量两两正交 以它们为列向量构成正交矩阵 则 根据上述结论 利用正交矩阵P将对称矩阵A化为对角矩阵 其步骤为 二 利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 2 1 具体详细过程如上 解 例1实对称阵A 求正交矩阵 使为对角阵 1 第一步求的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步将特征向量正交单位化 解 由 例2 设 例3 解 1 对称矩阵的性质 三 小结 1 特征值为实数 2 属于不同特征值的特征向量正交 3 特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等 4 必存在正交矩阵 将其化为对角矩阵 且对角矩阵对角元素即为特征值 2 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤 1 求特征值 2 找特征向量 3 将特征向量单位化正交化 4 得正交阵和对角阵