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专题30 圆的方程一、考纲要求：1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想二、概念掌握和解题上注意点： 1. 求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值.若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.2.与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如taxby形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m(xa)2(yb)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.3.求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1）)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.(2）)定义法：根据圆的定义列方程求解.(3）)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.(4）)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.三、高考考题题例分析 例1.（2018天津卷） 已知圆x2+y22x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则ABC的面积为【答案】例2.（2018江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D若=0，则点A的横坐标为【答案】3【解析】：设A（a，2a），a0，B（5，0），C（，a），则圆C的方程为（x5）（xa）+y（y2a）=0联立，解得D（1，2）=解得：a=3或a=1又a0，a=3即A的横坐标为3故答案为：3例3.(2015高考山东卷)一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或【答案】D【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 ，设反射光线所在直线的斜率为 ，则反身光线所在直线方程为： ，即：. 又因为光线与圆相切， 所以， ,整理： ，解得： ，或 ,故选D 6直线x3y30与圆(x1)2(y3)210相交所得弦长为 ()ABC4D3【答案】A【解析】圆心(1,3)到直线的距离为，从而得所求弦长为2，故选A7过点(1，2)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为 ()AyByCyDy【答案】B【解析】圆(x1)2y21的圆心为(1,0)，半径为1，以2为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y10，即y.8在平面直角坐标系中，直线yx与圆O：x2y21交于A，B两点，的始边是x轴的非负半轴，终边分别在射线OA和OB上，则tan()的值为 () A2BC0D2【答案】A【解析】由题可知tan tan ，那么tan()2，故选A9已知圆C：x2y22x4y10的圆心在直线axby10上，则ab的取值范围是()ABCD【答案】B10设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为() A6B4 C3D2【答案】B【解析】如图所示，圆心M(3，1)与直线x3的最短距离为|MQ|3(3)6，又圆的半径为2，故所求最短距离为624.11设P(x，y)是圆(x2)2y21上的任意一点，则(x5)2(y4)2的最大值为 ()A6B25 C26D36【答案】D 【解析】(x5)2(y4)2表示点P(x，y)到点(5，4)的距离的平方点(5，4)到圆心(2,0)的距离d5.则点P(x，y)到点(5，4)的距离最大值为6，从而(x5)2(y4)2的最大值为36.12过动点M作圆：(x2)2(y2)21的切线MN，其中N为切点，若|MN|MO|(O为坐标原点)，则|MN|的最小值是 ()ABCD【答案】B二、填空题13已知点M(1,0)是圆C：x2y24x2y0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是_【答案】xy10【解析】圆C：x2y24x2y0的圆心为C(2,1)，则kCM1.过点M的最短弦与CM垂直，最短弦所在直线的方程为y01(x1)，即xy10.14在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_【答案】(x1)2y22【解析】因为直线mxy2m10恒过定点(2，1)，所以圆心(1,0)到直线mxy2m10的最大距离为d，所以半径最大时的半径r，所以半径最大的圆的标准方程为(x1)2y22.15若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦长为2，则a_.【答案】1【解析】两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为y，如图，由已知得|AC|，|OA|2，|OC|1，a1.16一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，则该圆的方程为_【答案】x2y26x2y10或x2y26x2y10法二：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线yx的距离为，r27，即2r2(ab)214.由于所求圆与y轴相切，r2a2，又所求圆的圆心在直线x3y0上，a3b0，联立，解得或故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.法三：设所求的圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心坐标为，半径r.在圆的方程中，令x0，得y2EyF0.故所求圆的方程为x2y26x2y10或x2y26x2y10. 22已知圆C的方程为x2(y4)24，点O是坐标原点，直线l：ykx与圆C交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比为的两段弧？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (，)(，)； (2)见解析(2)假设直线l将圆C分割成弧长的比为的两段弧，则劣弧所对的圆心角MCN90，由圆C：x2(y4)24知圆心C(0,4)，半径r2.在RtMCN中，可求弦心距drsin 45，故圆心C(0,4)到直线kxy0的距离，1k28，k，经验证k满足不等式(*)，故l的方程为yx.因此，存在满足条件的直线l，其方程为yx.
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